的属于 1 的 记 Q1 是以 1
为
第一列任意正交矩阵。把 Q1 分块为 Q1 (1,Q0 )， 其中
Q0 为 n (n 1) 矩阵。
则
Q11 AQ1

Q1T
AQ1


1T
Q0T
A(1,Q0 )


1T
Q0T
A1 A1
注意到
A1 11 1T1 1, A AT
1
0
0 A1

1 0
0 Q2



1
0
0 Q2T A1Q2
diag(1, 2 , 3, , n )
这表明 Q 1 AQ 为对角矩阵。 根据数学归纳法原理，
对任意 n 阶实对称矩阵定理结论成立。
二、 实对称矩阵对角化方法
根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。 具体步骤如下:
是实对称矩阵，特征值 1 2 1 （二重）对应特征 向量 (2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 和 3 8 对应特征向量 (1, 0, 1)T
都正交。 当然，(2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过
标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
定理4.14 设 A 是阶 n 实对称矩阵, 则 存在正交阵 Q , 使 QT AQ Q1AQ 为对角阵.
证明： 对矩阵 A 的阶数 n 用数学归纳法。 当 n 1 时, 定理结论显然成立. 假设对于所有 n 1 阶实对称矩阵来说定理成立。
下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。
设 1 是 A 的一个特征值，1 是属于特征值 1 的特征
向量,
显然单位向量 1

1
1
1
也是
A
特征向量. 故不妨设1是单位向量，
证明：设 1 ，2 是实对称矩阵 A 的不同特征值， 1 ，
2分别是属于特征值 1 ，2 的特征向量。
于是 A1 11 (1 0) ， A2 22 (2 0)
对上面第一式两边左乘

T 2
，
得到
2T
A1

1
T 2
1
而
（4.12）

T 2
A1

齐次线性方程组1T X 0 的基础解系，而 1T X 0 (0,1, 1)(x1, x2 , x3 )T 0 x2 x3 0
所以，可取 2 (1,0, 0)T ,3 (0, 1, 1)T （彼此正交）
则 1 ， 2 ,3 是正交组，将它们单位化：
1 1 (2,1, 0)T
2
2


T 2
1T
1 1
1
(2,0,1)T
4(2,1, 5
0)T

( 2 , 4 ,1)T 55
将 1, 2 ,3 单位化，得到 构造矩阵
1 2
1 12 2
5 (2, 1, 0)T 5
5 (2, 4, 5)T 15
§3.3 实对称矩阵特征值和特征向量
实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。
这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，永远可以对角化。
一、 实对称矩阵特征值的性质
定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。
证明：设 A 是n 阶实对称矩阵，0是矩阵 A 的在复数 域上的任一特征值，属于 0 的特征向量为
(a1, a2 , , an )T 则 A 0 ( 0) ，于是，两边取复数共轭得到
附注： 矩阵 主对角线元素（特征值！）排列顺序
与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。
在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
例2 对矩阵 2 A 2 2
求一正交阵 Q , 使
2 2 1 4 4 1 Q1AQ 成对角矩阵。
由于 T 2 0 ，所以有
0 0 0 0 0 这样，0 是实数。由 0 的任意性，实对称矩阵 A 的 特征值都是实数。
附注：进一步地有，实对称矩阵 A 的属于特征值的 特征向量都是实数向量。
定理4.13 实对称矩阵 A 的属于不同
特征值的特征向量相互正交。
( AT 2
)T
1

( A 2
)T
1

(2 2 )T
1

2
T 2
1
于是有
1
T 2
1

2
T 2
1

(1

2
)
T 2
1

0
这样，由1

2 得到

T 2
1

0，即 1
与
2
是正交的。
【注】实对称矩阵 A 的属于不同特征值的
特征向量相互正交的线性无关组。 例1 在§4.1中里4中，矩阵 3 2 4 A 2 0 2 4 2 3
3
3 3
(1, 2, 2)T 333
Q (1, 2 , 3 )

5

6 3
2 4
5 2 5
15 0 5 2 5
3

3

6
则 Q 为正交矩阵，并且使得矩阵 A 对角化为 ：QT AQ Q1AQ 。
0 2 0
1 0 1
1 0 1
1

1 1

2 (0, 1, 1)T 2
2 3
2 32 3
(1,0, 0)T 2 (0, 1, 1)T
2
1

1 1

2 (0, 1, 1)T 2
构造矩阵
Q (1, 2 , 3 )
2

2 2
(1,0, 0)T
3

3 3

2 (0, 1, 1)T 2

2

0 1
2 1
2 0
0 1 0 1
0

则 Q为正交矩阵，并且使得
1
矩阵 A 对角化为 ：
及1与Q0 的各列向量都正交， 所以
1T
Q0T
AQ0 AQ0

Q11 AQ1

1
0
0 Q0T AQ0



1
0
0 A1
其中 A1 Q0T AQ0 为 n 1 阶实对称矩阵。 根据归纳法假设， 对 A1 存在 n 1 阶正交矩阵 Q2 使得
Q21A1Q2 Q2T A1Q2 diag(2 , 3 , , n )
解： 矩阵 A 的特征多项式为
2 2 2 2 2
0
det(E A) 2 1 4 2 1 3
2 4 1 0 3 2( 3)
( 3)2 ( 6) 解特征方程得特征值 1 2 3（二重），3 6 。
即求解 8 2 2 x1 0 2 5 4 x2 0 2 4 5 x3 0
得到一个基础解系 3 (1, 2, 2)T 。
把 1 (2,1, 0)T 2 (2, 0,1)T
正交化：
求出它的一个基础解系 i1,i2 , ,ini (i 1,2, , m) ； 第三步 利用施米特正交化方法，把 i1,i2 , ,ini
正交化，得到正交向量组 i1, i2 , , ini ，
再把 i1, i2 , , ini 单位化，得到一个 标准正交组 i1, i2, , ini ， (i 1,2, , m) ；
第一步 对给定实对称矩阵 A ， 解特征方程，
det(E A) 0
求出 A 的所有特征值, 设 A 的所有不同的特征值为
1, 2 , , m
其中 i 为 ni 重的，n1 n2 nm n ； 第二步 对每个 i , 解齐次线性方程组 (i E A) X 0

1
QT AQ Q1AQ
于是 A QQT

2 2
0 1 12 0Fra bibliotek0 1
0
0 1

1 2

1 0 0
0 1 1
0 1 1
0

1

1
1
1
2
2

令
Q3

1 0
0 Q2

,
Q

Q1Q3
，
则 Q3,Q 均为 n 阶正交矩阵， 并且
Q 1 A Q

Q31 (Q11 A Q1 )Q3


1 0
0 Q2
1


1
0
0 1 A1 0
0 Q2


1 0
0 Q2 1


det(E A) 0
对于 1 2 3 ，解齐次线性方程组
(3E A)X 0 即求解
1 2 2 x1 0 2 4 4 x2 0 2 4 4 x3 0
得到一个基础解系 1 (2,1, 0)T，2 (2, 0,1)T 。 对于 3 6 ， 解齐次线性方程组 (6E A)X 0 ，

A 0 A 0 A 0 (4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置， 得到
T A 0 T
两边再右乘 ， 得到
定理4.12 实对称矩阵 的特征值都是实数。
T A 0 T 0 T 0 T (0 0 ) T 0