曹杨二中高一期末数学试卷
2019.06
一. 填空题
1. 已知向量(3,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为
2. 若120°角的终边经过点(1,)P a -，则实数a 的值为
3. 已知向量(4,3)a =，则a 的单位向量0a 的坐标为
4. 在等差数列{}n a 中，165a a +=，43a =，则8a 的值为
5. 若a 、b 为单位向量，且2()3a a b ⋅+=
，则向量a 、b 的夹角为 （用反三角函数值表示）
6. 已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,3)b =，则||a b -的最大值为
7. 若4sin 25
θ
=，且sin 0θ<，则θ是第 象限角 8. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅ 的取值范围是
9. 若当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=
10. 走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的
位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值
等于
11. 如图，P 为△ABC 内一点，且1135
AP AB AC =+，延长BP ， 交AC 于点E ，若AE AC λ=，则实数λ的值为
12. 为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数x 、y 、z 满足229x xy y ++=，2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=
二. 选择题
13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ）
A. 0d <
B. 0d >
C. 160a <
D. 160a >
14. 已知数列{}n a 满足1(1)n n n n a a a +⋅=+-（n *∈N ），则42
a a 的值为（ ） A. 1615 B. 43 C. 13
D. 83
15. 在非直角△ABC 中，“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
16. 在△ABC 中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A.
4π B. 3π C. 23π D. 34π
三. 解答题
17. 设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =.
（1）若()a tb +∥c ，求实数t 的值；
（2）求c 在a 方向上的投影.
18. 已知方程20x mx n ++=有两根1x 、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.
（1）当m =4n =时，求αβ+的值；
（2）当sin m θ=-，cos n θ=（0θπ<<）时，用θ表示αβ+.
19. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长），已知||||10PA PB ==（米），4AOP BOP π
∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设O A P θ∠=，四边形
OAPB 的面积为S .
（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；
（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.
20. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ≤<）的最小正周期为2π，且其图像的 一个对称轴为2x π=
，将函数()f x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，再将图像向 左平移4
π个单位长度，得到函数()g x 的图像. （1）求()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）求函数()()y f x g x =-在区间[0,2]π上的零点；
（3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间[,]2t t π
+上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，
求函数()()()h t M t m t =-在区间[0,]π上的最大值.
21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为△ABC 的外接圆半径.
（1）若2R =，2a =，45B =︒，求c ；
（2）在△ABC 中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；
（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .
参考答案
一. 填空题
1. 2
2.
3. 43(,)55
4. 7
5. 1
arccos 3
π- 6. 3 7. 三 8. [2,2]-
9. 10. 211
11. 310 12. 二. 选择题
13. C 14. B 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）8t =；（2）18.（1）3π；（2）22
πθ-.
19.（1）3sin(
)4S πθθ=-，3(0,)(,)444πππθ∈；（2）max 1)S =. 20.（1）()sin f x x =，单调递增区间[2,2]22k k ππππ-
+，k ∈Z ；（2）6π，56π，32
π；
（3
21.（1（2）证明略；（3）当90A <︒时，c =；
当90A >︒时，c =。