h(n) (t) an1h(n1) (t) a0h(t) (t)
h( j) (0 ) 0, j 0,1,2,, n 1
用前面类似的方法，可推得各0+初始值为：
h( j) (0 ) 0, j 0,1,2,, n 2
h(n1) (0 ) 1 若微分方程的特征根均为单根，则冲激响应
h(t) C1e-2t C2e-3t ,
将初始值代入，得
t 0
h(0 ) C1 C2 3 h(0 ) 2C1 3C2 12
C1 3 C2 6
得系统的冲激响应为：
h(t) δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
二、阶跃响应
一个LTI系统，其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所 引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表g示(t)
将初始条件代入冲激响应函数中 h(t) C1e3t (t) h(0 ) C1 1
系统的冲激响应为：
h(t) e 3t (t)
第二章 连续系统的时域分析
总结：若n阶微分方程的右端只含有f(t),即：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a0 y(t) f (t) 当 f (t) ，(t其) 零状态响应（即冲激响应满足）
得： h(0 ) h(0 ) 3 3 h(0 ) h(0 ) 12 12
a 1; b 3 c 12
得系统的冲激响应为： h(t) δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
当t>0时，h(t)满足方程
h(t) 5h(t) 6h(t) 0
它的特征根 2, 。故3系统的冲激响应
应 yzs (t) ，h(t)满h足(t) h(t) 5h(t) 6h(t) (t) 2 (t) 3 (t)
h(0 ) h(0 ) 0
求0+时刻初始值h(0 ), h(0 )
设： h(t) a (t) b (t) c (t) r0 (t) h(t) a (t) b (t) r1(t) h(t) a (t) r2 (t)
h(t) dg(t) dt
t
g(t) h(x)dx
即：defBiblioteka g(t) T[0, (t)]
(t)
g (t )
(t) LTI系统 g(t)
t
{x(0)}={0}
o
o
t
阶跃响应示意图
第二章 连续系统的时域分析
由于单位阶跃函数 (t与) 单位冲激函数 的(t)关系为：
(t) d (t)
dt
t
(t) (x)dx
根据LTI系统的微积分性质，同一系统的阶跃响应和冲激 响应的关系为：
例3：设描述某二阶LTI系统的微分方程为
y(t) 5y(t) 6y(t) f (t) 2 f (t) 3 f (t)
求其冲激响应。 解法一：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程
y1(t) 5y1(t) 6y1(t) f (t)
设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为
解得： C1 1,C2 1 系统的冲激响应为：
h(t) (e2t e3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
一般而言，若描述LTI系统的微分方程为：
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
a0
y(t)
bm
f
(m)
(t)
bm1
f
( m 1)
(t)
b0
f
(t)
可分为如下两步求解系统的冲激响应h(t)
def
h(t) T[0, (t)]
(t)
h(t)
(t)
LTI系统 h(t)
t
{x(0)}={0}
o
o
t
第二章 连续系统的时域分析
例1： 已知某线性时不变系统的微分方程为
y(t) 3y(t) f (t)
试求系统的冲激响应h(t。)
解：当 f (t) (t), yzs (t) h(t)
则 h(t) 3h(t) (t)
h(0 ) 0 微分方程的特征根解得：
3
系统的冲激响应为 h(t) C1e 3t (t) 令： h(t) a (t) r0 (t)
h(t) r1(t) a 1
第二章 连续系统的时域分析
h(0 ) h(0 ) 1 h(0 ) h(0 ) 1 1
h(0 ) 0 h(0 ) 1
第二章 连续系统的时域分析
将初始条件代入冲激响应函数中 h(t) (C1e2t C2e3t ) (t) h(t) (2C1e2t 3C2e3t ) (t) (C1 C2 ) (t) h(0 ) C1 C2 0 h(0 ) 2C1 3C2 1
h(t) h1(t) 2h1(t) 3h1(t)
由于 h1(t) (e2t e3t ) (t)
h(t) h1(t) 2h1(t) 3h1(t)
δ(t) (3e-2t-6e-3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
解法二：根据冲激响应的定义，当 f (t) 系(t统) 的零状态响
h(t) n C jejt (t)
j1
第二章 连续系统的时域分析
例2：设描述某二阶LTI系统的微分方程为 y(t) 5y(t) 6y(t) f (t)
求其冲激响应。
解：当 f (t) (t), yzs (t) h(t)
则：h(t) 5h(t) 6h(t) (t)
h(0 ) h(0 ) 0 微分方程的特征根为： 1 2, 2 3 系统的冲激响应为：h(t) (C1e2t C2e3t ) (t)
第二章 连续系统的时域分析
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应 2.2 冲激响应和阶跃响应 2.3 卷积积分 2.4 卷积积分的性质
第二章 连续系统的时域分析
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
对于LTI系统，当初始状态为零时，输入为单位冲激
函数 (所t) 引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。
1)求右端只含有f(t)的冲激响应h1(t)
y (n) 1
(t
)
an1
y1(
n1)
(t
)
a0
y1(t
)
f (t)
2)根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分性质
得原微分方程的冲激响应h(t)
h(t) bmh1(m) (t) bm1h1(m1) (t) b0h1(t)
第二章 连续系统的时域分析