第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.0 引 言
2.1 连续时间基本信号 2.2 卷积积分 2.3 系统的微分算子方程 2.4 连续系统的零输入响应 2.5 连续系统的零状态响应 2.6 系统微分方程的经典解法
2.0 引 言
信号与系统分析的基本任务：
在给定系统和输入的条件下，求解系统的
输出响应。
f2( ) c

f2(-)
1

2、反转：
-1
c
0

3、平移： 将f(-)沿时间轴平移t，t为参变量
f2(-) c
t>0时向右平移， t<0时向左平移
f2(t-) c
-1
0

f 2 (( t )) f 2 (t )
f2(t-) c
-1
0 t-1 t

t-1
t
-1
0
0

0
2 0
1

0
2 0
f1() f2(1-) 1 g(t)
f1() f2(2-)
0

2
0
0
t
以上可以归纳为下列情况：
f1( )
2
f1(t) f2(t)
g(t)
0
2

0
t
当t<0时，f1()f2(t-)=0，所以g1(t)=0
当0t2时，f1()与f2(t-) 有部分重迭， 积分限 0t，g2(t)为：
t-2
t 0

用图解法进行分段积分，求出g(t)
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1-) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
f2(-) 1 2
f1() f2(-)
f2(2-) 1
2 f2(3-)

1 2 0 3
f1() f2(3-) 1 3
t
f2 (t ) (t ) (t 2)
求 g (t )



f1 ( ) f 2 (t )d
f1( ) 2 0 2 1 0
f2( )
2
f2(-) 1 0 1 2 f2(t-)
（1）、图解法
首先将f2()反褶 再将f2(-)沿轴平移t
t d K f (t ) K f ( )d dt
例2：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解法一： f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2 f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
f
( 1) 2 t (t ) e ( ) d e d (t ) e 0 t t 0
f1( ) 1 f2(1-) 2 c
f1( ) 1 f2(2-) 2 c
f1( )
f2(3-)
2
-1
0

f1() f2(-)
0
1

0
1

0
f1() f2(3-)
3
f1() f2(1-)
f1() f2(2-)
0

0 1 c
g(t)

0
2
0

1
2
t
以上可以归纳为下列情况：
g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t
2e 1 d
0
0 t
2(1 e )
t
当2t<时，f2(t-) 完全落在f1()上，积 分限 t-2t，g3(t)为：
g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)
随t取值不同，f2(t-)出现在不同位置
4、相乘：将f1()和 f2(t-)相乘
f1 ( ) 1 2 c f2(t-) f1()f2(t-)
c
t-1 0 t
t-1 0 t

c
f1()f2(t-)
5、积分
阴影的面积，即g(t)的值，是 一个t的函数
t-1 0
t

f1( ) 1 f2(-) c 2 c 1
= ε(t)+(-t+2)ε(t-2)-(-t+3)ε(t-3)
2.2 卷积积分
2.2.1 卷积的定义
已知定义在区间(-∞，∞)上的两个函数f1(t)和f2(t)，
则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d


为f1(t)和f2(t)的卷积 (Convolution)， 简记为

指数因子的实部 表征了正弦振荡幅度的 指数变化情况， 0时指数增长， 0 时 指数衰减。指数因子的虚部 表征了正弦振 荡的角频率。
【例】：写出下图波形的 函数表示式 解：用基本信号表示为
f(t)=2[ε(t)-ε(t-1)]+[ε(t-1)-ε(t-2)] +(-t+3)[ε(t-2)-ε(t-3)]
1 0 2 t
f 1(t)
解： f1(t) =ε (t) –ε (t –2)
f1(t)* f2(t)= ε (t) * f2(t) –ε (t –2) * f2(t) ε (t) * f2(t)= f2 (-1)(t) 利用时移特性，有ε (t –2) * f2(t)= f2 (-1)(t –2) f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
图2：门函数的波形
6、单位斜变信号
0, t 0 (t ) ( )d r (t ) t , t 0
1 t
其中：对一个信号积分记为：
f 1 (t )

f ( )d
t
7. 符号函数
定义
1 sgn(t ) 0 1
(t 0) (t 0) (t 0)
例 2.2 – 2 计算常数K与信号f(t)的卷积积分。 解: 直接按卷积定义， 可得

K f (t ) f (t ) K Kf ( )d

K [ f (t )波形的净面积 ]
常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。
如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致
2. [ f1 ( ) * f 2 ( )] d [ f1 ( ) d ] * f 2 (t )
t
t
f1 (t ) * [ f 2 ( ) d ]

t
证：上式= ε(t) *[f1(t)* f2(t)] = [ε(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(–1)(t) * f2(t)
f1(t)
1 2 1
f2(t)
1 3
2.2.3 卷积性质
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
sgn(t)
1 0
-1
可用阶跃信号表示
sgn(t ) 2 (t ) 1
8.复指数信号


复指数信号是指数因子为复数的指数信号，其 表示式为: f (t ) Ke st , 其中 s j 是复频率 s 的实部， 是其虚部。上 式用欧拉公式展开后，有
f (t ) Ke j t Ket cost jKet sint
f1(t)
1
f2(t)
c
2
t
1
t
1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它
求解 f1(t) f2(t)
c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它
g (t ) f1 (t ) f 2 (t )
解：1、变量置换：
f1( ) 1 2


f1 ( ) f 2 (t )d
jwt jwt
3、指数信号 1）普通指数信号f(t)=a-t 2）复指数信号 f(t)=ejwt 注意复平面上的几个特殊点
欧拉公式：ejwt=cos(wt)+jsin(wt)
4、抽样信号 Sa(t)=sin(t)/(t) 另外： sinc(t)=sin(πt)/(πt) =Sa(πt)

特点：
(–1)(t)
f 1(t) 1 0 2 t
(t ) (1 e t ) (t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2) 前例：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)
2.1 连续时间基本信号
1、奇异信号
阶跃函数ε(t) 和冲击函数δ(t)都是奇异信号。
2、正弦信号
f(t)=Asin(wt+φ) 其中 T=2π/w
A
f (t)
T
o
t
－A

图 2.1 – 1 正弦信号
【注意】：正弦信号与指数信号的重要关系：欧拉 公式
e e sin(wt ) 2j jwt jwt e e cos( wt ) 2

f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t) t 3. f(t)*ε(t) f ( ) (t ) d f ( ) d ε(t) *ε(t) = tε(t)