代入方程 Bet 2Bet 3Bet et et
B1 3
rp
(t)
1 3
et
齐次解和特解相加即为方程的完全解
n
rt Aieit rp t i 1
三、借助初始条件求待定系数 Ai
对于n阶微分方程，若激励 e是(t) 时t 刻 0加入的，则求解
区间为 。0一组t 边界条件可以给定为响应及其各阶导
E0
dm d
e(t) tm
E1
dm1 e(t) d t m1
Em1
d e(t) dt
Eme(t)
若系统为时不变的，则C、E均为常数，此方程为常系 数的n阶线性常微分方程。
一、齐次解
齐次解是齐次微分方程的解，是形式为 Ae的t 一些指数 函数的线性组合。
C0
dn r(t) dtn
C1
d n1 dt
r(t)
n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
0
令 r(t) Aet ，代入上式。由于 Cn 0，且对任意时间t均 成立，因此有：
C0 n C1 n1 Cn1 Cn 0 特征方程
对应的n个根 1,2 , 为,微n 分方程的特征根。
• 若n个特征根各不相同，则微分方程的齐次解：
n
rh (t) A1e1t A2e2t Anent Aieit i 1 A1, A2 , An由初始条件决定。
第二章 连续时间系统的时域分析
连续时间系统一般是采用高阶微分方程进行描述。
输入-输出法（端口描述法）
时域分析：指对系统的分析与计算全部在时间变量领域内 进行，不通过任何变换。
经典分析：求解系统模型（微分方程） 两种方式
卷积分析：利用单位冲激响应求得零状态响应
2.2 系统数学模型（微分方程）的建立
• 元件约束特性：表征元件特性的关系式。
• 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系， 即KVL或KCL。
例2-2-1 求并联电路的端电压 v与t 激励 is间t的 关系。 解：以 vt 作变量，各元件的电压电流关系为：
电阻
iR
t
1 R
vt
电感
iL t
1 L
t v d
is t
电容
iC
t
C
d vt
dt
根据KCL iR t iL t iC t iSt
• 若有重根，如 1为 k阶重根，则相应于 1的重根部分 将有 k 项：
(B1t k1 B2t k2 Bk1t Bk )e1t k Bit ki e1t
i1
特征方程 求出特征根 齐次解
例2-3：求微分方程 d3
dt3
r t
7
d2 dt2
rt
16
d dt
r t
12r t
et
i
iR R(t)
iiLL(t)
R
LC
a
iCi c(t)
vt
b
将元件关系代入，并化简
C
d2 vt
dt2
1 R
d vt
dt
1 L
vt
d is d
t
t
二阶微分方程
机械位移系统
k
m
Fs
f
F与St刚 体运动速度 间v的t关系可由推导得到：
m
d2 d
vt
t2
f
d vt kvt
dt
d FSt
dt
二阶微分方程
数在此区间内任一时刻 处的值，t即0
r(t0 ),
d dt
r(t0
),
d2 dt 2
r(t0 ),
d n1 dt n1
r(t0 )
通常取 t0 0 ，有
r(0),
d dt
r(0),
d2 dt 2
r (0),
d n1 dt n1
r(0)
初始条件
记为 r k (0) (k 0,1,, n 1)
由
完全响应
n
rt Aieit rp t i 1 自由响应
强迫响应
借助初始条件，即可建立联立方程组，确定系数 Ai ， 从而获得惟一解。
从系统的角度来看，r (t ) 是系统的完全响应，由两部分 组成。特征方程的特征根被称为系统的“固有频率”,因 此可以说齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而 与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应； 特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。
的齐次解。
解：系统的特征方程
3 7 2 16 12 0
22 3 0
特征根 齐次解
1 2重根, 2 3
rh t A1t A2 e2t A3e3t
二、特解
特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励 e代(t)入 微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由项”。 根据自由项的形式可设定特解的函数表达式，之后代入方 程中，求出特解中的待定系数。
例2-5 如图所示电路，已知激励信号 e(t) sin(，2t)u(t)
初始时刻电容端电压均为零，求输出信号 v2 (的t) 表达式。
R1
R2
解：⑴ 列写微分方程
+
e(t)
-
1 + v1 (t)
-
1 C1
1F 2
d
2v2 (t) dt 2
7
dv2 (t) dt
6v2
不同性质的系统可能具有相同的数学模型。 对于复杂系统，可以用高阶微分方程描述。
2.3 用时域经典法求解微分方程
若线性系统的激励信号为 e(t，) 响应为 r(，t)其数学模型 可用如下高阶微分方程来描述：
C0
dn r(t) dtn
C1
dn1 r(t) d t n1
Cn1
d r(t) dt
Cnr(t)
与几种典型激励函数对应的特解形式
激励函数 e(t) (常数)
tp e t
cos t sin t t pe t sin t t pe t cos t
响应函数r(t)的特解
B(常数)
B1t p B2t p1 Bpt Bp1 Be t
B1 cos t B2 sin t
B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
例2-4 给定微分方程
d2 d
rt
t2
2
d rt
dt
3rt
d et
dt
et
已知：1 et t2; 2 et et ,分别求方程的特解。
解：1 将et t 2代入方程右端, 得到t 2 2t, 为使等式两端
平衡，特解表达式为：
rp t B1t2 B2t B3 B1, B为2, B待3 定系数
代入方程 3B1t2 4B1 3B2 t 2B1 2B2 3B3 t2 2t
根据等式两端对应幂次的系数相等，有
34BB11
1 3B2
2
2B1 2B2 3B3 0
B1
1 3
,
B2
2, 9
B3
10 27
rp
t
1 3
t
2
2 9
t
10 27
⑵ et et ， 特解 rp (t) Bet