KCL： i( t )＝0 KVL： u( t )＝0 VCR： uR( t ) = R i( t )
uL
(t)

L
di(t) dt
iC
(t)

C
du(t) dt
对图1(a)，有
RC
duC (t) dt

uC
(t)

uS
(t)
即
uC (t)
1 RC
uC (t)

1 RC
uS (t )
h(t) ds(t) dt
t
s(t) h( )d
（3）利用转移算子求h(t)
定义算子
p d , dt
pn

dn dt n
，
1 t
p
算子的运算规则： （1）可因式分解： （2）算子方程中左右两端的算子p不能随意消去： （3）算子p和1/p的位置不能互换：
如图所示的二阶系统，其描述方程如下
a、自由响应：取决于系统性质，即特征根；
b、强迫响应：取决于输入信号的形式；
按响应的变化形式：
a、瞬态响应：当t无限增长，响应最终趋于零；
b、稳态响应：响应恒定或为某个稳态函数。
例2-1 一阶系统
uC (t) 2uC (t) 2uS (t)
当uC(0)=4V， uS(t)=1+e3t 时，则完全响应为： uC (t) 4e2t e2t 2e3t1 零输入响应 零状态响应 （储能响应）（受激响应）
图1
1、阶跃响应
LTI系统在零状态下，由单位阶跃信号引起的 响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记
为s( t )。
图2
对于一阶系统方程
y(t) ay(t) k (t)
则零状态响应：
则阶跃响应：
y(t) s(t) eat t k ( )ea d 0 k (1 eat )ε(t) a
(3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
yh (t) e1t (K1 cos1t K1 sin 1t) L eit (Ki cosit Ki sin it)
3、零输入响应与零状态响应
• 零输入响应（储能响应 ）： 从观察的初始时刻起不再施加输入信号，仅由该时 刻系统本身的起始储能状态引起的响应称为零输入 响应（ZIR）。
1、LTI系统的微分方程的建立
描述线性时不变（LTI）系统的输入-输出特性的是 线性常系数微分方程。 从系统的模型（微分方程）出发，在时域研究输入 信号通过系统后响应的变化规律，是研究系统时域 特性的重要方法，这种方法就是时域分析方法。
• 系统的微分方程的建立
对于电系统，建立其微分方程的基本依据是 ：
➢ 如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0_状态到0＋状态发生了跳变 。
3、0＋ 状态的确定
➢ 已知 0_状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法。 ➢ 求 0＋ 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。
4、各种响应用初始值确定积分常数
➢在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0＋ 状态初始值. ➢在求系统零输入响应时，用的是 0_ 状态起始状态。 ➢在求系统零状态响应时，用的是 0＋ 状态初始值，这时的零 状态是指 0_状态为零。
特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)
齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有
频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一
般形式（无重根）：
n
yh (t) Cieit i 1
i 为特征根
特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定
（2）求yzi(t)的基本步骤
①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
y
(i zi
)
(0)

y
(i zi
)
(0)
确定积分常数C1，C2， …，Cn
③将确定出的积分常数C1，C2， …，Cn代入通解表达式， 即得yzi(t) 。
关于 0_ 和 0+ 初始值
对本例 所以
H ( p) 2 1 p 1 p 2
y(t) h(t) ( 2 1 ) (t)
p 1 p 2
最后
h(t) (2et e2t ) (t)
2.3 卷积及其应用
教学目的：深刻理解并掌握卷积的定义，会利用 其性质求卷积，掌握卷积在LTI系统中的应用。
即
y(t)
p2
p 3 (t)
3p 2
p 3 (t) H ( p) (t)
( p 1)( p 2)
H( p )称为转移算子。
一般
有 (2-32)
H ( p) k1 k1 ki
p 1 p 1
p i
n
h(t) kieit , t 0 i 1
零状态响应
（1）即求解对应非齐次微分方程的解
（2）求yzs(t)的基本步骤
①求系统的特征根，写出的通解表达式yzs(t) 。
②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yp(t)
③求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根
据冲激函数匹配法求得
y(i) zs
(0)
，确定积分常数C1，
C2， …，Cn
④将确定出的积分常数C1，C2， …，Cn代入全解表达式，即 得。
几种典型自由项函数相应的特解
• 一阶系统的零状态响应
对于一阶系统方程
y(t) ay(t) x(t)
x(t)：强迫函数（与输入信号有关）
特征方程的根： 则零状态响应：
a
或
yzs (t) eat
定义为f1(t)和f2(t)的卷积，记作
即：
y(t) f1(t) f2 (t)

y(t) f1(t) f2 (t) f1( ) f2 (t )d
若f1(t)、f2(t)均为因果信号：
有 所以
y(t) k (t)
pa
H ( p) k pa
y(t) h(t) ke at (t)
例2-4 设有二阶方程
y(t) 3y(t) 2y(t) f (t) 3 f (t), f (t) (t)
则有算子方程
( p2 3 p 2) y(t) ( p 3) (t)
第二章 连续系统的时域分析
学习重点：
• 连续系统微分方程的特点； • 系统响应的分解形式； • 阶跃响应与冲激响应； • 卷积及其应用； • 系统的特征函数及其应用。
本章目录
2.1 LTI连续系统的微分方程及其响应 2.2 阶跃响应与冲激响应 2.3 卷积及其应用 2.4 特征函数及其应用
2.1 LTI连续系统的微分方程及其响应
• 阶跃响应的测量
图3
2、冲激响应
（1）定义 储能状态为零的系统，在单位冲激信号作用下产生
的零状态响应称为冲激响应，记为h(t)。
对于一阶系统
y(t) ay(t) k(t)
x(t)
则冲激响应：
y(t) h(t) eat t k ( )ea d 0 keat (t)

R L
uC
(t)

1 LC
uC
(t)

1 C
iS (t)

R LC
iS (t)
2、微分方程的经典解法
• 对于n阶LTI连续系统，其微分方程为
微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）
齐次解是齐次微分方程
yh(t)的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形 式无关，称为系统的固有响应或自由响应；
例2-3 求图6示系统冲激响应h(t)=uC(t)
解 所以
图6
uC (t)
1 RC
uC (t)

1 (t)
RC
t
uC (t) h(t) e RC
t 0
1

( )e RC d
RC

1
t
e RC (t)
RC
（2）阶跃响应与冲激响应的关系
由系统的微、积分特性，则
4e2te2t 12e3t 自由响应 强迫响应

5e
2t


2e3t

1
瞬态响应 稳态响应
•经典法不足之处
•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物 理概念。
系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就
是稳态解。
齐次解yh(t)的形式
(1) 特征根是不等实根s1, s2, , sn
yh (t) K1es1t K2es2t L Knesnt
(2) 特征根是等实根s1=s2==sn
yh (t) K1es t K2tes t L Knt n1es t
uC
(t)

R L
uC
(t)

1 LC
uC
(t)

1 C
iS (t)

R LC
iS (t)
i(t)
R i(t) L
1 LC
i(t)

1 LC
iS ( t )
（3）利用转移算子求h(t)
定义转移算子H( p )： H ( p) N( p)
D( p)
一般可将输入-输出关系表示为： y(t) H ( p) f (t) 则对一阶方程 y(t) ay(t) k (t)