2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）1 已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-2 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 (A) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3 如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)484 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）5 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p -=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．6 设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．7 设曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．8 如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,O D C D B C αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 9（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．10（本题满分13分） 设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为33，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．11（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<． 12（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈． （1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈--- 2012年卓越联盟自主招生数学试题一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
1. 若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 。
2. 函数()θθθcos 2sin +=f ，()R ∈θ的值域为 。
3. 设10<<a ，40πθ<<，()θθsin log sin a x =，()θθtan log cos a y =，则y x ,的大小关系为。
4. 已知△ABC 中， 90=∠A ，4=BC ，点A 为线段EF 中点，EF=2，若→EF 与→BC 的夹角为 60，则=⋅→→CF BE 。
5. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T 。
若22b a =，44b a =，且52435=--T T S S ，则=++3535b b a a 。
6. 设函数()()ϕϖ+=x x f sin ，其中0>ϖ，R ∈ϕ，若存在常数()0>T T ，使对任意R x ∈有()()x Tf T x f =+，则ϖ可取到的最小值为 。
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
7. （本小题满分10分）设b a 、是从集合{}5,4,3,2,1中随机选取的数。
（I ）求直线b ax y +=与圆222=+y x 的公共点的概率。
（II ）设X 为直线b ax y +=与圆222=+y x 的公共点的个数，求随机变量x 的分布列及数序期望()X E 。
8.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦AB CD ⊥于点M ，E 是CD 延长线上一点，10=AB ，8=CD ，OM ED 43=，EF 切圆O 与F ，BF 交CD 于G ，（I ）求线段EG 的长；（II ）连接DF ，判断DF 是否平行于AB ，并证明你的结论。
（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。
）9. (本小题满分10分)如图，在四棱锥ABCD P -中，地面ABCD 为直角梯形，BC AD //，BC AB ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，1===AB AD PA ，2=BC 。
（I ）证明平面PBC ⊥平面PDC ；（II ）若 120=∠PAB ，求二面角C PD B --的正切值（注：根据解题需要，须将图像自行画在答题卡上。
）。
10. (本小题满分10分)设抛物线px y 22=，0>p 的焦点是F ，A 、B 是抛物线上互异的亮点，直线AB 与x 轴不垂直，线段AB 的垂直平分线交x 轴与()0,a D ，记BF AF m +=。
（I ）证明a 是p 与m 的等差中项；（II ）设p m 2=，直线y l //轴，且l 被以AD 为直径的动圆，截得的弦长恒为定值，求直线l 方程。
11. (本小题满分15分) 已知函数()bxax x f 12+=，其中a 是非零实数，0>b 。
（I ）求()x f 的单调区间；（II ）若0>a ，设ax i 1>，321、、=i ，且021>+x x ，032>+x x ，031>+x x 。
证明：()()()ba x f x f x f 2321>++； （III ）若()x f 有极小值m in f ，且()21m i n ==f f ，证明：()()22-≥-n n n x f x f ，+∈N n 。
12. 12. (本小题满分15分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，01≠a ，v a uS vS n n 11=-+，其中v u 、是正整数，且v u >，+∈N n 。
（I ）证明{}n a 为等比数列；（II ）设p a a 、1两项均为正整数，其中3≥p 。
（i ）若1a p ≥，证明v 整除u ；（ii ）若存在正整数m ，使得()11-+≤p p m a ，证明：()pp p m m S -+=1。
2011年卓越联盟自主招生数学试题1. 向量a ，b 均为非零向量，(a-2b)⊥a ，(b-2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为 (A)6π (B)3π (C)23π (D)56π2. 已知sin2( + )=nsin2 ，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于(A)11nn-+(B)1nn+(C)1nn-(D)11nn+-3. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F：FB1=1：3，则异面直线EF与BC1所成角的正弦值为(A)153(B)155(C)53(D)554. i为虚数单位，设复数z满足|z|=1，则2221z zz i-+-+的最大值为(A)2-1 (B)2-2(C)2+1 (D)2+25. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC边所在直线的方程为4x+y-20=0，则抛物线方程为(A)y2=16x (B)y2=8x (C)y2=-16x (D)y2=-8x6. 在三棱锥ABC—A1B1C1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离为(A)3(B)2(C)32(D)22(7)若关于x的方程||4xx+=kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为( )(A)(0，1) (B)(14，1) (C)(14，+∞) (D)(1，+∞)(8)如图，△ABC内接于⊙O，过BC中点D作平行于AC的直线l，l交AB于E，交⊙O于G、F，交⊙O在A点的切线于P，若PE=3，ED=2，EF=3，则PA的长为(A)5(B)6(C)7(D)229. 数列{a n}共有11项，a1=0，a11=4，且|a k+1-a k|=1，k=1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A)100 (B)120 (C)140 (D)16010. 设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk表示连续k次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( )(A)σ4(B)σ5(C)σ2τ(D)τσ211. 设数列{a n}满足a1=a，a2=b，2a n+2=a n+1+a n．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值． 12. 在△ABC 中，AB=2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD=kAC ．(Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短？13. 已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线21,l l ，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．14. 一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ．(Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P(X n =a+k)=p k ，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b ；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1． 15. (Ⅰ)设f(x)=xlnx ，求f ′(x)；(Ⅱ)设0<a<b ，求常数C ，使得1|ln |b ax C dx b a --⎰取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b ，证明：m a,b <ln2．。