x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
画出二次函数 考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
x
1 y ( x 1) 2 2 1 y ( x 1) 2 2
1 1 2 y ( x 1) 2 y ( x 1 ) 、 的图像,并 2 2
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）2 y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
h>0
开口
h<0
h>0
h<0
对称性
顶点 增减性
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
3 时，y有最 小 值，其值为 0 。
点坐标 （0，36）。
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下 向下
直线x=-3
直线x=1 直线x=3
( -3 , 0 )
(1,0) ( 3, 0)
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x－h)2和抛物线y=ax2 的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移 |k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平 移|h|得到. (h>0,向右平移;h<0向左平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x－h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是x=h; (3)顶点是(h,0).
二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0时， y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
2
2
在同一坐标系中作出下列二次函数:
1 2 y x 2
1 y ( x 2) 2 2
1 2 y x 2 2
1 y ( x 2) 2 2
6 5 4
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
-8
y
1 2 x 2
y
1 x 2 2 2
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ，
对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交
即:
1 2 向左平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2 1 2 向右平移 1 y x y ( x 1) 2 2 1个单位 2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
(1)对称轴是x=h; (2)顶点是(h,0). （3）抛物线y=a(x－h)2可 以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到.
h>0，向右平移; h<0，向左平移
y
x
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
图象
a>0
a<0
c>0
开口 对称性 顶点
c<0
c>0
c<0
开口向下 开口向上 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,c)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性
当x<0时，y随着x的增大而 当x<0时，y随着x的增大而 减小。当x>0时，y随着x的 增大。当x>0时，y随着x的 增大而减小。 增大而增大。
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=0
解:先列表 描点
1 2 3 4
… … …
-4 -4.5
-3 -2
-2
-1
0
-0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
1
y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 2 y ( x 1 ) x=－1
2
1 (1)抛物线 y ( x 1) 2 2 1 与 y ( x 1) 2 的开口 2
方向、对称轴、顶点?
1 (2)抛物线 y ( x 1) 2 2 1 2 1 2 y x y ( x 1) 2 2
有什么关系?
有什么关系？
1 1 1 2 2 2 抛物线 y ( x 1) 、y ( x 1) 与抛物线y x 2 2 2
3
2
1
-6
-4
-2
B
2
4
6
1 y ( x 2) 2 向左平移 2 2个单位
1 2 y x 2
向右平移 y 1 ( x 2) 2 2 2个单位
-1 -2 -3 -4
向左平移 向右平移 顶点(2,0) 顶点(0,0) 顶点(－2,0) 2个单位 2个单位 向左平移对称轴:y轴 向右平移 直线x=2 直线x=－2 2个单位 即直线: x=0 2个单位