开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为0.
开口大小 a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 +c (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.
1.二次函数y=ax2+c的图象是什么？答：是抛物线 2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 轴
顶 点坐 标
Y的 最值
增减性
在对称 在对称轴 轴右侧
左侧
y=ax2
抛物线，开 时，y有最 小
值，
（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 右 平移 4 个单位得到的；开口 向下 ，对称轴 是直线x=，4 当x= 4 时，y有最 大 值，是 0 .
（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函
数 y=2（x-3）2 的图像，其对称轴是 直线x=3
1
-2 y=-x2
-10
-5
y=x -2 2 O
5x
10
-2
-4
-6 y=-x2-2
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 向上，对称轴 是 y轴，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ；
想一想,二次函数y=3(x+1)2的图象的增减性会怎样?
当x<-1 时,y随 的增大而减小,当 x>-1时,y 随 的增大而增大
二次函数y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的图象
2.抛物线y=-3(x-
y
1)2和y=-3(x+1)2在x
轴的下方(除顶点外),
它的开口向下,并且 y3x12
，顶点
是 （3，0）
，当x ＞3 时，y随x的增大而增大；当
x ＜3
时，y随x的增大而减小.
（4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位后 得到函数 y= -3（x+1）2 的图像，其顶点坐标 （-1，0） ，
对称轴是 直线x=-1 ，当x= -1 时，y有最 大 值，
是 0.
函数
（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
6.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐
个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
0).
1.抛物线y=a(x- 二次函数y=a(x-h)2的性质
h)2的顶点是(h,0),
X=h
X=h
对称轴是平行于y
y ax2
轴的直线x=h.
4. a 越大,开口越小,
a 越小,开口越大.
3.当a>0时,在对称轴 (x=h)的左侧,y随着x的
向 下 平移 |c|个单位得到。 上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
(2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向上平移 7 个 单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象
向下无限伸展.
y3x12
1.抛物线y=-3(x-
3.抛物线y=-3(x-1)2在对称
1)2的顶点是(1,0);对
轴(x=1)的左侧,当x<1时, y随 着x的增大而增大;在对称轴
y 3x2
称轴是直线:x=1;抛 物线y=-3(x+1)2的
(x=1)右侧,当x>1时, y随着x
X=-1 X=1
Y随x的增 大而增大 Y随x的增 大而减小
比较函数y 3x2 与y= 3(x- 1)2 的图象
⑴完成下表 ,观察两个函数值之间有怎样的关系?
x
y 3x2
-3 -2 -1 0 27 12 3 0
1 2 34 3 12 27 48
y3x12 48 27 12 3 0 3 12 27
(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和 y=3(x-1)2的图象．
顶点是(－1,0);对称
的增大而减小.当x=1时,函数
轴是直线:x=－1.
y的值最大(是0); 抛物线y=-3(x+1)2在对称轴
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是
(x=－1)的左侧,当x<－1时, y 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1
随着x的增大而增大;在对称 轴(x=－1)右侧,当x>－1时, y 随着x的增大而减小.当 x=－1时,函数y的值最大(是
向上平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。
（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。
将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
10
y
8
y=x2+1
6
4
y y=-x2+3
2
4 y=x2
2
-1 0
-5
O
5x
当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
侧(x>- )，函数值y随x的增大而增大 。
2a
a<0时，对称轴左侧(x<-2a)，函 数值y随x的增大而增大 ；对称轴右
侧(x>- )，函数值y随x的增大而减小 。
2a
（2）
a>0时，ymin=
4ac-b2 4a
a<0时， ymax=4ac-b2
4a
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例1. 填空题
（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 口向上 ，对称轴是直线x= -5，当x= -5 是0 .
y 3x2
y3x12
开口方向如何?它是轴
对称图形吗?它的对称
轴和顶点坐标分别是
什么?
图象是轴对称图形
对称轴是平行于 y轴的直线:x=1.
顶点坐标 是点(1,0).
二次项系数相同 a>0,开口都向上.
(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大
而增大?x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x的增
象与y=x2的图象
2
y=x2
的形状相同吗?
O
5
x 10
-2
x ….. -2 y=x2 …… 4
y=x2-2 …… 2
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到.
相同
-10
-5
-1 0 10
-1 -2
y
8
1 2 …… 14
-1 2 ……
6
函数y=x2-2的图象与y=x2的
图象的位置有什么关系?
4
y=x2
函数y=x2+1的图
2
象与y=x2的图象
的形状相同吗?
O
5
x 10
y=x2-2
-2
函数y=-x2+3的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向上平移
3个单位长度得到.
-1 0
-5
4
y y=-x2+3
2
O
5x
10
函数y=-x2-2的图
-2 y=-x2
象可由y=-x2的图
-4
象沿y轴向下平移
yaxh2
增大而减小;在对称轴
(x=h)右侧,y随着x的增
大而增大;当x=h时函数 二次函数y=a(x-h)2
y的值最小(是0).
与y=ax2的图象形状
当a<0时,在对称轴(x=h) 相同,可以看作是抛
的左侧,y随着x的增大而 物线y=ax2整体沿x轴
增大;在对称轴(x=h)的 平移了h 个单位(当
开口方向
对称 轴
顶点 坐标
图象特点和函数性质
图 2 6 .2 .4
返 回
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x=- 2a
(3)顶点坐标是:(-
2a ,
) 4ac-b2 4a
(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
前进
图 2 6 .2 .4
(二) 函数性质：
（数值1）y随a>x0的时增，大对而称减轴小左；侧对(x<称-2轴a)，右函