平移，可以得到抛物线y a(x h)2 k。
平移的方向、距离要根据h__、__k_的值来决定。
抛物线y a(x h)2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向__上__；当a 0，开口向__下_； （2）对称轴是直线_x_=_h_；
（3）顶点坐标是（__h_，__k_）。
开口向上
开口向下
对称轴是x=-3
对称轴是x=1
顶点是（-3，5）
顶点是（1，-2）
（3）y （4 x 3）2 7；（4）y （5 x 2）2 6.
开口向上
开口向下
对称轴是x=3 顶点是（3，7）
对称轴是x=-2 顶点是（-2，-6）


1 2
x2向1个左单平位移y

1 (x 1)2 2
向下平移 1个单位
y

1 2
(x 1)2
1
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
二次函数的图像与性质上下左 右平移
例3.画出函数 y 1 (x 1)2 1的图像.指出它的开口 2
方向、顶点与对称轴、
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点画图.
形状相同，
开口方向相同.
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 x2, 2
y 1 x2 1, 2
顶点不同， 对称轴不同.
抛物线y 1 x2 怎样移动就可以得到抛物线 y 1 (x 1)2 1 ？
2
2
归纳小结
一般地，抛物线y a(x h)2 k与y ax2形状相__同___， 位置不__同__。把抛物线y ax2向上（下）向左（右）
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y 1 (x 1)2 1
2
观在察同二一次直函 角数 坐标系y 中 的12 x图2, 象y ， 12思x2考1,这y三 条12 (抛x 物1)2线1 有什么关系？
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的解析式为:
y=－43 (x－1)2＋3 (0≤x≤3) O 1 2
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上 直线x=－3 (－3,5)
y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 (1,－2)
y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 (3,7)
y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 (2,－6) 2.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗? 3.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y= 4x2 怎样平移得到?
4、抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），
则a=
。
5、设抛物线的顶点为（1，-2），且经过 点（2，3），求它的解析式。
6、抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移
2个单位得到的抛物线是
。
7、抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习
8、说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（1）y （2 x 3）2 5；（2）y （3 x 1）2 2；
有什么关系? 平移方法1:
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3yΒιβλιοθήκη 1 2x
2向下平移 1个单位
y


1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
水柱在与池中心的水平距离为1m处
达到最高,高度为3m,水柱落地处离
池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3) y 是图中这段抛物线的顶点.因此可 3
B(1，3)
设这段抛物线对应的函数是
A
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 2
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴
0=a(3－1)2＋3
平移方法:
y=ax2向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h|个单位
移|k|个单位
y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k
移|k|个单位
移|h|个单位
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中
心竖直安装一根水管.在水管的顶端
安装一个喷水头,使喷出的抛物线形
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
的开口方向、对称轴、顶点?
抛物线 y 1 (x 1)2 1 的开口向下, 2
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x=h时,最小值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
(2)抛物线 y 1 (x 1)2 1
2
y 1 x2 2
y 1