a(cos 1 cos 1 ) H
b(cos 2 cos 2 ) K
c(cos 3 cos 3 ) L
整个三维点阵中所 有原子的散射波产 生相长干涉的条件
材料研究方法与测试技术
劳埃方程的讨论：
a(cos 1 cos 1 ) H b(cos 2 cos 2 ) K c(cos 3 cos 3 ) L
材料研究方法与测试技术
任务：确定衍射线强度与原子位置之间关系 的表达式。 思路： 首先考虑一个电子对X射线的散射； 然后讨论一个孤立原子对X射线的散射； 最后考虑一个单位晶胞中的所有原子对X 射线散射的情况。
材料研究方法与测试技术
一个电子对X射线的散射
散射的物理过程与本质： 1.X射线迫使电子振动，振动电子发射出 电磁波。
材料研究方法与测试技术
由于单位晶胞中各个原子(包括原点上的原子在内) 的散射波都要相加，欲求这些波的合波时，最方便 的方式是将每个波都表达成复数函数的形式。
波的复数平面表示：
sin(2 t ) 定态波函数： sin
波函数 波的解析式为： 由欧拉公式及强度与振幅平方成正比： 或
两波周相差为：
材料研究方法与测试技术
衍射矢量方程
s s 0 ( HKL) 衍射矢量
s s 0 2 S sin 2 sin 1 s s0 d HKL * s s 0 rHKL r * H a * Kb * Lc * 倒易矢量
（1）.布喇格方程的导出
材料研究方法与测试技术
分两步讨论： 同一晶面上各个格点之 间的干涉—点间干涉。
▲
不同晶面之间的干涉— 面间干涉。
▲
（1）.布喇格方程的导出
▲
材料研究方法与测试技术
同一晶面上各个格点之间的干涉—点间干涉。 入射 X射线 入射角
平面法线
镜面反射方向
掠射角
任一平面 上的点阵
材料研究方法与测试技术
材料研究方法与测试技术
一个晶胞的散射
晶体对X射线的衍射：方向与强度
衍射束方向：布拉格方程；
衍射束强度：原子位置的函数。
在满足布拉格定律条件下，各个单位晶胞之间没有周相 差。讨论一个晶胞则可以代表整个晶体。
确定了周相差和原子排列之间的关系，则可以 获得衍射束强度与原子位置的函数关系。
解决这个问题的最简单办法就是求出位于原点上的一 个原子与阵胞内的另一个原子散射波的周相差。

材料研究方法与测试技术
劳埃方程
(1) X射线受一维点阵(原子列)衍射的条件
-2级射
2级衍射
X射线传播方向
材料研究方法与测试技术
劳埃方程
(1) X射线受一维点阵(原子列)衍射的条件
OQ PR H
OQ OR cos PR OR cos
材料研究方法与测试技术
r j x j a y jb z j c
上图表示一个晶胞内两个原子散射波相干的情况。其中 s0表示入射波方向的单位矢量，s表示所讨论的（hkl） 面的衍射波方向的单位矢量，rj为第j个原子的位置矢量
材料研究方法与测试技术
O原子散射波2’ 第j个原子A散射波1’ 1’与2’之间的光程差δj
a(cos cos ) H
H cos cos a
材料研究方法与测试技术
0级衍射
1级衍射
X射线传播方向
材料研究方法与测试技术
入射线束圆锥
0级衍射圆锥 (H=0)
+1级 (H=+1)
+2级 (H=+2)
一维原子列的圆锥
材料研究方法与测试技术
劳埃方程
(2) X射线受三维点阵(空间点阵)衍射的条件
所谓系统消光。
（2）布喇格方程应用
材料研究方法与测试技术
1. 已知θ， 可测 d ——X射线晶体结构分析. 研究晶体结构、材料性质。 2.已知θ， d 可测 ——X射线光谱分析. 研究原子结构。
材料研究方法与测试技术
根据布喇格公式
NaCl 晶体
主晶面间距为 2.82×10-10 m 对某单色X射线
二、X射线衍射的强度
材料研究方法与测试技术
X射线的强度：单位时间内通过与X射线传 播方向相垂直的单位面积上的光子数目与 光子能量的乘积。 把X射线看成是电磁波时，和普通波的传 播相同，单位时间通过单位面积的波的能 量（能流密度），单位J/m2· s。与波的 振幅平方成正比。
材料研究方法与测试技术
1912年，英国物理学家布喇格 父子提出 X射线在晶体上衍射 的一种简明的理论解释----布喇 格定律，又称布喇格条件。
2d sin k (k 1.2.3)
材料研究方法与测试技术
X射线
原子或离子中的电子— —受迫振动。 振动着的电子 成为次生X射 线的波源，向 外辐射与入射 X 射线同频率 的电磁波，称 为散射波。
的布喇格第一级 强反射的 掠射角为 15°
15°
2 × 2.82×10-10 × 1.46×10-10 (m)
15°
入射X射线波长 第二级强反射 的掠射角
0.5177
31.18 °
d

2
材料研究方法与测试技术
思考题 1. Al,面心立方,已知a=0.405nm，用线照射, 问(111)面网组能产生几条衍射线。 2.已知，问用照射，能否使(440)面网组产 生衍射？ 3.要使某个晶体的衍射数量增加， 你选长 波的X射线还是短波的？
一个原子的散射
汤姆逊方程表明相干散射的强度与散射质点的质量平方成 正比，净效果是散射由原子所含电子产生。
1.θ＝0：如果一个电子散射波振幅为Ee，则原子散射波振幅为ZEe
2.θ≠0：原子散射波振幅为fxEe, fx<Z,原子散射因数。
一个原子散射波的振幅 fx 一个电子散射波的振幅
材料研究方法与测试技术
材料研究方法与测试技术
用MoKα辐射Ag晶体试样
(111)晶面的1级、2级和3级衍射线的布拉格角分别为：
15.13°，31.46°，51.52° (222)晶面的1级衍射线的布拉格角为：31.46°
(333)晶面的1级衍射线的布拉格角为：51.52°
材料研究方法与测试技术
(3)布喇格方程是X射线在晶体产生衍射的必 要条件而非充分条件。有些情况下晶体虽然 满足布拉格方程，但不一定出现衍射线，即
面3
…
材料研究方法与测试技术
a’
A
b’
C
1 2 3
d
B
掠射角
d
h 层间两反射光的光程差 相长干涉得亮点的条件

D

BD DC 2d sin
2d sin k (k 1.2.3)
材料研究方法与测试技术
衍射面（或称干涉面）和衍射指数
2d sin n 2(d hkl / n)sin
材料研究方法与测试技术
对第j个原子散射波，当用复数表达时，
f：原子散射波振幅 则：
结构因数：X射线衍射中，单位晶胞中各个原子散
射波的合波，用F表示。
也可用原子散射波振幅与电子散射波振幅比值定义：
F=
一个单位晶胞中全部原子散射波振幅 一个电子散射波振幅
材料研究方法与测试技术
若单胞含N个原子，
坐标各为 x1y1z1，x2y2z2， …xnynzn，
Io—入射波强度
e--电子电荷 m—电子质量
c---光速
2θ—散射角
材料研究方法与测试技术
讨论 1、电子散射强度在空间的分布
2、一个电子能够散射掉入射X射线的强度
I p 7.83 1026 I 0 1 cos 2 2 ( ) 2 r 2
对空间整体积分后,散射强度约为10-25I0
材料研究方法与测试技术
布拉格方程
2d HKL sin
命题：
1、满足布拉格方程，是否衍射线强度一定不为零； 2、不满足布拉格方程，是否衍射线强度一定为零。
材料研究方法与测试技术
1、满足布拉格方程，是否衍射线强度一定不为零；
衍射线强度与原子在晶体中的位置密切相关： 原子在阵胞内位置的微小变动，都可以改变衍 射光束的强度。
2.散射光束实际是电子在入射光束作用下 所辐射的光束 3.散射光束波长及频率与入射光相同
材料研究方法与测试技术
设在空间上有任意一点P，O-P距离为r，OP与OY夹角为2θ， 则电子所散射的X射线在P点的强度由汤姆逊方程给出：
Ip—散射波在P点的强度
e4 1 cos 2 2 I p I0 2 2 4 ( ) r mC 2
X射线衍射几何条件
材料研究方法与测试技术
可见光的光栅衍射现象
(a b) sin
k
k
K: 0,1,2,… …,增强

2
K: 1,2,3,… …,相消
材料研究方法与测试技术
X射线衍射的基本原理

晶体结构、点阵常数已知，测定波长。--X射线光谱分析； 已知波长，测定晶体的点阵常数。
原子散射因数为 f1，f2，…，fn， 则h k l反射的结构因数为：
相应的衍射波强度I为：
I Fhkl
2
材料研究方法与测试技术
结构因数的计算
一些有用的关系：
材料研究方法与测试技术
两波周相差为：
* * a j 2 r j rHKL a j 2 (hx j ky j lz j )
从上式可以求出：
当Xj,Yj,Zj一定时，不同(hkl)反射中两个原子的 周相差； 当h、k、l一定时，晶胞中任意两个原子之间的 周相差。 有关晶胞中的散射问题，可以变成将周相与振幅 不同的各个波相加，以求其合波的问题。