第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、OA OB OC OD OE、、、、、OF AB BC CD DE EF和中，哪些矢量是相等的？FA[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.DEOFCDOEABOCFAOBEFOA和；和；和；和；和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？KL NM[证明]：如图1-2，连结AC, 则在∆BAC中，AC. 与方向相同；在∆DAC 21KL AC中，AC. 与方向相同，从而KL21NM AC＝NM且与方向相同，所以＝KL NM KL.NM4. 如图1-3，设ABCD-EFGH在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3)AB CD AE CG、;AC EG(4) 、; (5) 、.AD GF BE CH[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。
§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？ba,（1（2（3（4（5C[解]：（1）b a ,（2）b a ,（3b a ,（4）b a ,（5）b a ,§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简．)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ⑵ 已知，，求，和．→→→→-+=3212e e e a →→→→+-=321223e e e b →→+b a →→-b a →→+b a 23⑶ 从矢量方程组，解出矢量，．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243→x →y 解 ⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-⋅+--⋅-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ ，→→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ． →→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a 2 已知四边形中，，，对角线、的中ABCD →→→-=c a AB 2→→→→-+=c b a CD 865→AC →BD 点分别为、，求．E F →EF 解 ．→→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121 3 设，，，证明：、、三点共线． →→→+=b a AB 5→→→+-=b a BC 82)(3→→→-=b a CD A B D 证明 ∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴与共线，又∵为公共点，从而、、三点共线．→AB →BD B A B D 4 在四边形中，，，，证明ABCD →→→+=b a AB 2→→→--=b a BC 4→→→--=b a CD 35为梯形．ABCD 证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2(∴∥，∴为梯形． →AD →BC ABCD6. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, AL , 可 以构成一个三角形. BM CN [证明]：)(21AC AB AL +=)(21BC BA BM +=)(21CB CA CN +=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 从而三中线矢量构成一个三角形。
CN BM AL ,,7. 设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 +=++.OB OA +OC OL OM ON [证明] LA OL OA += MB OM OB +=NC ON OC +=)(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++由上题结论知：0=++CN BM ALON OM OL OC OB OA ++=++∴8. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明+++＝4.OA OB OC OD OM [证明]：因为＝(+OM 21OA ), ＝(+), OC OM 21OB OD 所以 2＝(OM 21OA+++) OB OC OD 所以+++＝4.OA OB OC OD OM9 在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明ABCDEFGH ．→→→→=++AG AH AF AC 2 证明 ． →→→→→→→→→→→→=+++=+++=++AG CG FG AF AC DH AD AF AC AH AF AC 2 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 证明 已知梯形，两腰中点分别为、，连接、． ABCD M N AN BN ，→→→→→→++=+=DN AD MA AN MA MN 图1-5，∴ ，即→→→→→→++=+=CN BC MB BN MB MN →→→+=BC AD MN ，故平行且等于．)(21→→→+=BC AD MN →MN )(21→→+BC AD11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.[证明]：如图1-4，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD的交点但OBOD OC OAOB OC OA OD BCAD OBOC BC OA OD AD +=+-=-∴=-=-= 由于∥∥而不平行于，)(OC OA +,AC )(OD OB +,BD AC BD ，∴0=+=+OB OD OC OA 从而OA=OC ，OB=OD 。
12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: ++…+＝.1OA 2OA n OA 0[证明]：因为＋＝λ, 1OA 3OA 2OA ＋＝λ, 2OA 4OA 3OA ……+＝λ, 1-n OA 1OA n OA ＋＝λ,n OA 2OA 1OA 所以 2(++…+)1OA 2OA n OA ＝λ(++…+),1OA 2OA n OA 所以 (λ－2)(++…+)＝. 1OA 2OA n OA 0显然 λ≠2, 即 λ－2≠0.所以 ++…+＝.1OA 2OA n OA 013．在12题的条件下，设P 是任意点，证明： PO n PA PA PA n =+++ 21证明： 021=+++n OA OA OA()()()021=-++-+-∴PO PA PO PA PO PA n 即 PO n PA PA PA n =+++ 21§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线求 ,,b BD a AZ ==.,,,DA CD BC AB 解：．设边BC 和CD 的()()()()a b DA a b CD a b BC a b AB +-=-=+=--=21,21,21,21（2）中点M 和N ，且求。
q AN P AM ==,CD BC ,解： ()()P q P P q MC BC P q AC 32122,21-=⎪⎭⎫⎝⎛--==-=()p q q AC AN CN CD += ⎝⎛++-=-==2222．在平行六面体ABCD-EFGH 中，设三个,,,321e AE e AD e AB ===面上对角线矢量设为试把矢量写成,,,r AF q AH p AC ===r q p a γμλ++=321,,e e e 的线性组合。
证明：， 2312,e e q AH e e p AC -==-==， 13e e r AF -==AF AH AC a γμλ++=()()()321e e e γμμλγλ++-++-=3. 设一直线上三点A , B , P 满足＝λ(λ≠－1),O 是空间任意一点，求证：AP PB ＝OP λλ++1OBOA [证明]：如图1-7，因为＝－, AP OP OA ＝－,PB OB OP 所以 －＝λ (－),OP OA OB OP (1+λ)＝+λ,OP OA OB 从而 ＝.OP λλ++1OBOA 4. 在中,设.ABC ∆,1e AB =2e AC =(1) 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合; E D 、BC AE AD ,21,e e （2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合AT A BC T AT 21,e e 解：（1）， ()121231,e e BDe e AB AC BC -==-=-=，同理1e BD AB AD +=-+=+=AE +=（2）因为, ||||TC BTe且 与方向相同， BT TC 所以 . BT e TC 由上题结论有. AT 2e e +e e e e 5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量OABC G ABC ∆OG 的分解式。
OC OB OA ,,,解：是的重心。
连接并延长与BC 交于PG ABC ∆∴AG ()()()AC AB AC AB AG AC AB AP +=+∙==+=312132,21 同理 C O()()CB CA CG BC BA BG +=+=31,31 （1） G P()BC AB OA AG OA OG ++=+=∴31（2） A B()BC BA OB BG OB OG ++=+=31（3） （图1）()CB CA OC CG OC OG ++=+=31由（1）（2）（3）得()()CB CA BC BA AC AB OC OB OA OG ++++++++=31313OC OB OA ++=即 ()OC OB OA OG ++=316．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点证明：设BC ，CA ，AB 中，点分别为L ，M ，N 。