第一章矢量与坐标§ 1.1矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心，在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O和 FA 中，哪些矢量是相等的？[解 ]：图 1-13.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明 ]：.4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、; (2) AE、; (3)AC 、CD CGEG ;(4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH .解：图1—3§ 1.2矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？（1）a b a b;（2）a b a b ;（3）a b a b ;（4）a b a b ;（5）a b a b .解：§ 1.3数量乘矢量1试解下列各题．⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ．⑵已知a e1 2 e2e3，b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ．⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 ya，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中点分别为 E 、 F ，求EF．解：3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：4在四边形 ABCD 中， AB a 2 b ， BC 4 a b ，CD 5 a 3 b ，证明 ABCD 为梯形．解：6. 设 L、 M、 N 分别是 ABC 的三边 BC、 CA、 AB 的中点，证明：三中线矢量AL,BM,CN 可以构成一个三角形.7.设 L、 M 、N 是△ ABC的三边的中点， O 是任意一点，证明OA OB + OC = OL + OM + ON .解：8.如图 1-5，设 M 是平行四边形 ABCD的中心， O 是任意一点，证明OA + OB + OC + OD ＝4 OM .解：9在平行六面体 ABCDEFGH （参看第一节第4题图）中，证明AC AF AH 2 AG ．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11.用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分 .解图1-412. 设点 O 是平面上正多边形A1A2A n的中心，证明:OA1 + OA2 ++OA n＝0 .解,13．在 12 题的条件下，设P 是任意点，证明证明：§ 1.4矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD中，（1）设对角线AZ a, BD b, 求 AB, BC, CD, DA.解（2）设边 BC和 CD的中点 M 和 N，且AM P, AN q 求 BC, CD 。

2．在平行六面体 ABCD-EFGH中，设AB e1, AD e2, AE e3 , 三个面上对角线矢量设为 AC p, AH q, AF r , 试把矢量 a pq r 写成 e1 , e2 ,e3的线性组合。

解：3.设一直线上三点 A, B, P 满足AP＝PB ( － 1),O 是空间任意一点，求证：OP＝ OA OB1解：图1-74. 在ABC 中,设 AB e1 , AC e2.(1)设 D、E 是边 BC 三等分点,将矢量 AD, AE 分解为 e1 ,e2的线性组合;（2）设AT是角A的平分线 (它与BC交于T点 ),将AT分解为e1,e2的线性组合解：5．在四面体OABC中，设点G是ABC 的重心（三中线之交点），求矢量OG对于矢量OA, ,OB, OC 的分解式。

解6．用矢量法证明以下各题（1）三角形三中线共点证明：7．已知矢量a, b不共线，问c2a b 与 d 3a2b 是否线性相关？解：8. 证明三个矢量 a ＝－e1+3 e2+2 e3,b ＝4 e1－6 e2+2 e3，c＝－3 e1+12 e2＋11 e3共面，其中 a 能否用 b , c 线性表示？如能表示，写出线性表示关系式.[证明 ]：9．证明三个矢量a b, b c, c a 共面。

证明：§1.5 标架与坐标3.在空间直角坐标系 {O; i , j , k }下，求 P(2,－ 3,－ 1)， M(a, b, c)关于(1) 坐标平面； (2) 坐标轴； (3) 坐标原点的各个对称点的坐标.[解 ]：8.已知矢量 a , b , c 的分量如下：(1) a ＝{0,－1, 2}， b ＝{0, 2,－4}， c ＝{1, 2,－1}；(2) a ＝{1, 2, 3}， b ＝{2,－1, 0}， c ＝{0, 5, 6}.试判别它们是否共面？能否将 c 表成a ， b 的线性组合？若能表示，写出表示式. [解 ]:7．已知 A,B,C三点坐标如下：（1）在标架O;e1, e2下，A 0,1 , B 2, 2 ,C2,4 .（2）在标架O;e1, e2 , e3下，A 0,1,0 , B 1,0, 2 ,C 2,3,4判别它们是否共线？若共线，写出AB 和 AC 的线形关系式.解：9. 已知线段 AB 被点 C(2,0,2)和 D(5,-2,0)三等分 ,试求这个线段两端点 A 与 B 的坐标 .解：10.证明：四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点，且这点到顶点的距离是它到对面重心距离的三倍 . 用四面体的顶点坐标把交点坐标表示出来 . [证明 ] ,,§1.6矢量在轴上的射影1．已知矢量AB 与单位矢量 e的夹角为 150 ，且 AB 10 ，求射影矢量e AB 与射影e AB ，又如果 e e，求射影矢量 e AB与射影 e AB.解：2 试证明：射影l( a1a2 + + n a n )＝ 1 射影 l a1+2射影 l a2+ + n射影l a n .[ 证明 ]§1.7两矢量的数性积1．证明：r r r r r r r（1）矢量a垂直于矢量(ab)c( ac)b；（2）在平面上如果12，且 a i＝ b m i(i=1,2)，则有 a ＝ b.m m m证明：2．已知矢量a,b互相垂直，矢量c与a,b的夹角都是60，且a1, b 2, c 3 计算：(1)(a b) 2 ; (2)( a b)( a b); (3)(3a 2b).( b 3c);( 4)(a 2b c)2[解 ]：3.计算下列各题 .uuur r uuur r uuur urr r r r r r （ 1）已知等边△ABC 的边长为1,且BC a , CA b , AB C , 求 ab bc ca ；(2)r r r r1,r r r r r r r r r已知 a,b, c 两两垂直,且 a b2, c3, 求 r a b c 的长和它与a,b, c 的夹角 .r r r r r r(3)已知 a3b与 7a5b 垂直，求 a,b 的夹角.r r r r 2ur r r r r r取何值时(4) 已知 a 2, b 5,(a,b), p3a b,q a17b. 问系数ur r3p 与 q 垂直？解4.用矢量法证明以下各题：(1)三角形的余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA;(2)三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距 . 证明：图 1-11r r5已知平行四边形以 a ﹛1，2，-1﹜， b ﹛1，-2，1﹜为两边(1)求它的边长和内角(2) 求它的两对角线的长和夹角解：6 已知△ ABC 的三顶点A(0,0,3),B(4,0,0), C (0,8,3)试求： (1) △三边长 (2) △三内角(3) 三中线长(4) 角A的角平分线矢量uuur AD（中点uuur在BC 边上），并求AD的方向余弦和单位矢量解：§1.8两矢量的失性r r r r r r r r r r 2 1.已知a 1 , b5, a b 3. 试求: (1) a b(2) (a b)( a b)r r r r 2(3) (a2b)(b2a)解 :2. 证明：（1） ( a b )2≤ a 2 b 2，并说明在什么情形下等号成立 .（2） 如果 a + b + c ＝ 0 ，那么 ab ＝ bc ＝ c a ，并说明它的几何意义.(3) r r r ur r rr ur r ur r r如果 a b c d , a cb d .那么 ad 与 b r c 共线 .r r r(4)r ur urr r urr r如果a p n,b q n,c r n, 那么 ,a, b,c 共面 .证明 :3. 如果非零矢量 r i (i ＝ 1,2,3)满足 r 1 r 2 r 3 ， r 2 ＝ r 3 r 1 ， r 3 ＝ r 1 r 2 ，那么 r 1 , r 2 , r 3 是彼此 垂直的单位矢量，并且按这次序构成右手系.[ 证明 ]：r2,3,1 rr rr4. 已 知 :a, b1, 2,3 , 求 与 a , b 都 垂 直 , 且 满 足 下 列 条 件 的 矢 量 c :r(2) r ur10 , 其 ur(1) c为 单 位 矢 量c d 中 d 2,1, 7 .解:5.在 直 角 坐 标 系 内 已 知 三 点 A(5,1, 1), B(0, 4,3), C (1, 3,7) , 试 求 :(1) 三 角 形 ABC 的 面 积(2) 三 角 形 ABC 的 三 条 高 的 长 .解 :r 2,3,1 ,r 5,6,4r r6.已知 : ab,试求 :(1)以 a, b 为边的平行四边 形 的面 积 .(2)这 平行 四边形的两条高的 长 .解:7.用矢量方法证明：（1）三角形的正弦定理a＝b＝csin A sin B. sin C（2）三角形面积的海伦(Heron) 公式，即三斜求积公式：2＝ p(p－ a)(p－ b)(p－ c).式中 p＝1(a+b+c)是三角形的半周长，为三角形的面积. 2[证明 ]：§ 1.9三矢量的混合积1.设 a , b , c 为三个非零矢量，证明(3)( a , b , c + a + b ) =(a , b , c );(4)( a＋b , b ＋ c , c ＋ a ) =2( a , b , c ).[证明 ]：2．设径矢 OA r1 , OB r 2 , OC r3 , 证明R ＝( r1r2 )＋ ( r2r3 )＋( r3r1 )垂直于 ABC平面 .[ 证明 ]:3．u = a1 e1 + b1 e2 + c1e3 , v a2 e1 + b2 e2 + c2 e3 ,w = a3e1+b3e2+ c3e3,a1b1c1试证明(222123c)., ,)= a b( e , e , ea3b3c3[证明 ]r r r4.已知直角坐标系内矢量a, b,c 的分量 ,判别这些矢量是否共面?如果不共面 ,求出以它们为r3,4,5 r1,2,2 r9,14,16三 邻 边 作 成 的 平 行 六 面 体 体 积 .(1) a, b, c.rr2, 4,3r1, 2,2(2)a 3,0, 1,b ,c .解:5. 已知直角坐标系内 , ,C, D 四点坐标 ,判别它们是否共面 ?如果不共面 ,求以它们为顶点的四面体体积和从顶点 D 所引出的高的长 .⑴ A 1,0,1 , B 4,4,6 , C 2,2,3 , D 10,14,17 ;⑵ A 2,3,1 , B 4,1, 2 ,C 6,3,7 , D5,4,8 .解 :§ 1.10三矢量的双重矢性积1. 在直角坐标系内 ,已知 a 1,0, 1 , b 1, 2,0 , c 1,2,1 , 求 a b c 和 a b c解2. 证明 对于任意矢量 r i i 1,2,3,4 下式成立 :r 1 r 2 r 3 r 4r 1 r 3 r 4 r 2 r 1 r 4 r 2 r 3证3. 证明 a b a d= a b d a证4. 证明 a b, c d, e f= a b d c e f a b c d e f证5. 证明a, b, c 共面的充要条件是 b c , c a , a b 共面.证6.对于任意矢量 a, b, c, d ,证明b c d a c d a b d a b c a b c d0证第二章轨迹与方程§ 2.1平面曲线的方程1.一动点M到A(3,0)的距离恒等于它到点B( 6,0) 的距离一半，求此动点M的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？解：2.有一长度为2a ( a＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，是求此线段中点的轨迹。