f ( x 2 z 2 , y ) 0
（1）球面
x 2 y 2 z 2 R2
（2）圆锥面
（3）旋转双曲面
2
x y z
2 2
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
2. 柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成 的曲面称为柱面. 这条定曲线叫柱面的准 线，动直线叫柱面的母线. 柱面方程的特征：
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 坐标满足方程的点都在曲面 S 上
那么，方程 F ( x, y, z ) 0 就叫做曲面 S 的方程，而
曲面 S 就叫做方程的图形.
1. 旋转曲面
定义：以一条平面曲线绕其平 面上的条定直线旋转一周所 成的曲面称为旋转曲面,称这 条定直线为该旋转曲面的轴.
C
L
只含 x , y而缺 z的方程F ( x, y ) 0,
在空间直角坐标系中表示 母线平行于 z轴的柱面，其 准线为 xOy 平面上曲线 C .
z
M
z
y
z
C o
o x
y
x
o
M1
y
x
l
(1)
2
圆柱面
2 2
(2)
抛物柱面
(3)
椭圆柱面
x y R
x 2 py ( p 0)
2
x2 y2 2 1 2 a b
ab
a b0
a x bx a y b y a z bz 0
(五)向量积
(叉积、外积)
c a b b
向量 a 与 b 的向量积为一个向量, 记为
c ab
向量 c 的长度为
| c || a || b | sin
a
其中 为 a 与 b 的夹角 ;
c 的方向既垂直 于
横轴 x
两点间距离公式
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点,它们距离为
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1
2 2
2
(二)曲面及其方程
如果曲面 S 与三元方程
F ( x, y, z ) 0 有下述关系：
第一章 空间解析几何
第一部分 主要内容
第二部分 典型例题
第一部分 主要内容
一、向量代数 二、空间解析几何
一、向量代数
向量的 线性运算
向量概念
向量的 表示法
向量的积
数量积
向量积
(一)向量的坐标表示
z
az
a
ay
ax a a x i a y j az k x 向量的坐标表示为 a {a x , a y , a z }
3. 空间曲线在坐标面上的投影
F ( x , y , z ) 0 设空间曲线的一般方程： G ( x , y , z ) 0
(四)数量积
(点积、内积)
其中 为 a 与 b 的夹角.
a b | a || b | cos
数量积的坐标表达式
a b a x bx a y by az bz
a aa
利用内积表示向量的长度
利用内积求两向量的夹角的公式
cos
ab a b

a x bx a y by az bz a x 2 a y 2 az 2 bx 2 by 2 bz 2
（三）向量模(长度)的坐标表示
2 2 2 | a | a x a y a z
向量方向余弦的坐标表示式
cos
cos
ax a x a y az
ay a x a y az
2 2 2
2
2
2
cos
az a x a y az
2 2 2
( cos2 cos2 cos2 1 )
A( x1 , y1 , z1 ), B ( x2 , y2 , z2 )
如果向量
y
其中 a x , a y , az 分别为向量在 x , y , z 轴上的投影 . 已知空间两点 则向量
AB { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1}
(二）向量的加减法、向量与数的乘积的坐标表达式 设
k az bz
a x a y az bx b y bz
ab 0
二、空间解析几何
空间直角坐标系
一般方程 旋转曲面
曲线
参数方程 一般方程 参数方程
曲面
柱面
直线
对称式方程
平面
点法式方程
二次曲面 一般方程
(一)空间直角坐标系
z 竖轴
空间的点
定点
o
y 纵轴
( x, y, z )
有序数组
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z2
(三)空间曲线 1. 空间曲线的一般方程
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
2. 空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
3. 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
（2）椭圆抛物面
2
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
x2 y2 z 2 p 2q
(p
与 q 同号)
z
z
o x
（4）单叶双曲面
y
x
y
（5）双叶双曲面
（6）圆锥面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
a , 又垂直于b , 指向符合右手系.
向量积的坐标表达式
a b (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j ( a x b y a y bx ) k
i a b ax bx
a 与 b 平行
j ay by
M ( x, y, z )
z
C
M1 (0, y1 , z1 )
o
y
x
绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点:
f ( x, y) 0 设有平面曲线 L : z 0
(1 ) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f ( x, y 2 z 2 ) 0
(2 ) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面 方程为
a {a x , a y , az },
b {bx , by , bz }
a b {a x bx , a y by , az bz } a b {a x bx , a y by , az bz } a {a x , a y , a z }