机器人的位置和姿态
机器人位姿的表示 机器人的位姿主要是指机 器人手部在空间的位置和姿态 ，有时也会用到其它各个活动 杆件在空间的位置和姿态。
机器人的位姿
机器人位姿的表示
位置可以用一个3×1的位置矩阵来描述。
ｚ
px x p py y p z z
xi p x cos y p sin i y z p 0 i z
(3-6)
同样，如果用向量表示上述关系式，其一般可表示
为
f (r )
1
(3-7)
如图所示，机器人到达给定的手爪位置
r
有两个姿态满足要求，即图中的 也是其解。 这时 1和 2 变成为另外的值。即逆运动学的解不是惟一 的，可以有多个解。
第3章 机器人运动学
二、机器人的位置和姿态
机器人的位姿
机器人的坐标系 手部坐标系{h} 机座坐标系{0} 杆件坐标系{i} i=1，…，n
第3章 机器人运动学
三、齐次变换及运算
齐次变换及运算
直角坐标变换
坐标之间的变换关系
平移变换
ｚj ｚi ｏi
旋转变换
ｘi
ｘj
ｏj
ｙj
ｙi
直角坐标变换
齐次变换及运算
平移变换 设i坐标系和j坐标系具有相同的姿态，但它俩 的坐标原点不重合，若空间有一点在i坐标系和j 表示，则它们之 坐标系中分别用矢量 和 r ri j 间有以下关系： ｚj
ri pij rj
称上式为坐标平移方程。
ｘi
ｚi ｏi
ri r j
pijBiblioteka ｘjｙiｏjｙj
直角坐标变换
齐次变换及运算
旋转变换 设i坐标系和j坐标系的原点重合，但它俩的姿态不 同，则j坐标系就可以看成是由i坐标系旋转变换而来的。
ｚi
ｚj
ｙj ｏi ｘi ｏj
ｙi
ｘj
直角坐标变换
ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)
ｏ ｘ
ｙ
机器人的位姿
姿态可以用坐标系三个 坐标轴两两夹角的余弦值（ 三个h坐标轴的单位矢量）组
ｏ ｘ ｚ ｚh ｘh ｏ ｐ(ｘ,ｙ,ｚ) h ｙh ｙ
成3×3的姿态矩阵来描述。
cos(x , x h ) cos(x , yh ) cos(x , z h ) R cos(y , x h ) cos(y , yh ) cos(y , z h ) cos(z , x h ) cos(z , yh ) cos(z , z h )
第三章 机器人运动 学
第3章 机器人运动学
一、机器人运动学基本问题 二、机器人的位置和姿态 三、齐次变换及运算 四、机器人运动学方程 五、运动学方程求解 六、微分变换和雅可比矩阵
第3章 机器人运动学
一、机器人运动学基本问题
运动学基本问题
运动学研究的问题： 手在空间的运动与各个 关节的运动之间的关系。 正问题：已知关节运动，求 手的运动。 逆问题：已知手的运动，求 关节运动。
x r y
1 2
因此，利用上述两个向量来 描述一下这个2自由度机器 人的运动学问题。 手爪位置的各分量， x L1 cos1 L2 cos(1 2 ) 按几何学可表示为：
y L1 sin 1 L2 sin(1 2 )
机器人的位姿
机器人位姿的表示
例：右图所示两坐标系的
姿态为：
ｚ0 ｘ1 ｏ0 ｘ0 ｙ0
ｚ1 ｏ1 ｙ1
0 1 0 R01 1 0 0 0 0 1
机器人的位姿
机器人的坐标系 手部坐标系（手爪坐标系）——机器人手部的坐标系， 也称机器人位姿坐标系，它表示机器人手部在指定坐 标系中的位置和姿态。 杆件坐标系（参考坐标系）——机器人指定杆件的坐 标系，它是在机器人每个活动杆件上固定的坐标系， 随杆件的运动而运动。 机座坐标系（基准坐标系）——机器人机座的坐标系， 它是机器人各活动杆件及手部的公共参考坐标系。
ri pij Rij rj
称上式为直角坐标系中的坐标联合变换方程。
例
若j坐标系是i坐标系先沿矢量 pij pxi py j pz k 平移，再绕z轴旋转θ角得到的，则空间任一点在i 坐标系和j坐标系中的矢量和对应的变换矩阵之间 z , 就有 r ，写成矩阵形式则为： p R i ij ij rj
用向量表示这个关系式，其一般可表示为
式中
f
r f ( ) 表示向量函数。
(3-3)
已知机器人的关节变量 ，求其手爪位置的 运动学问题称为正运动学（direct kinematics）。
该公式被称为运动方程式。
运动学基本问题--逆问题 如果，给定机器人的手爪位置，求 为了到达这个预定的位置，机器人的关 节变量的运动学问题称为逆运动学 （inverse kinematics）。 其运动方程式以2自由度机械手为 例，通过以下分析说明。
如图为逆运动学问题（知位置，求分量），可得
2
(3-4)
L2 sin 2 y 1 arctan( ) arctan( ) x L1 L2 cos 2
式中
(3-5)
2 ( x 2 y 2 ) L1 L2 2 arccos 2 L L 1 2
旋转变换
齐次变换及运算
——旋转变换矩阵，是一个3×3的矩阵，其中的每个 元素就是i坐标系和j坐标系相应坐标轴夹角θ的余弦值，它 表明了姿态（方向）。θ角的正负按右手法则确定，即由轴 的矢端看，逆时钟为正。
直角坐标变换
齐次变换及运算
联合变换 设i坐标系j和坐标系之间存在先平移变换， 后旋转变换，则空间任一点在i坐标系和j坐 标系中的矢量之间就有以下关系：
运动学基本问题
数学模型：
手的运动→位姿变化→位姿矩阵r
关节运动→参数变化→关节变量θ， 运动学方程： r=f(θ) 正问题：已知θ，求r。 逆问题：已知r，求θ 。
运动学基本问题
运动学基本问题--正问题 以2自由度为例
图3－1所示为2自由度机器人手部的连杆机构。
我们引入向量分别表示手爪 位置和关节变量，