柯西根值判别法
定理2设乌为正项级数，极限= 2存在，则
71 ~OO
(1)^/1 < 1,级数收敛;
(2)若义> 1 (包括4 = 8)
级数发散;
⑶若义=1,
不能由此断定级数的敛散也
例4判别下列级数的敛散性
00
(2)
n=lnn
00
n
3n-l
(1) limVu^ =lim- = 0 < 1
由根值判别法，级数
”"+1
(n+l)"〉 1 n
解
lint—- Um
n-^oo ht8
= lim (n+l)n+2 n—8
=Um (—)n+2 =1
n-»oo \n+17 e
由比较判别法的极限形式,
级数2 00
n=l
m?l+l
^发散
：♦例3判别级数2二亨!（. 其中* ＞ 0）的敛散性
带, 解这是一个正项级数，Un
(2) lim\/u^=liTn
由根值判别法,
例5判断级数
的敛散性（。＞ 0）.
当0=1时，原级数为
,显然是发散的.
当 0 < a < 1时，Um
当 口 ＞ 1时，lim
故当a ＞。且a尹1时，原级数收敛.
例1判别下列级数的敛散性
°°1 n=l ST)!
(2) > \i00
解(1) lim un+l
n n—>00
(2) Um 由比值判别法, (3) lim
(n+1)!
(n+l)n+1 3nn\
(n+1)! 10n
ion+1
茶丄的敛散性.
(71+1)” (n+2)n
此时比值判别法失效.
改用比较判别法
3 ＞。）
㈣学㈣
nn
xnn\
7=1T—e~
n
当O V X V合日寸，E匕值兀＜ 1,
级数收敛;
当e＜x时，tbfflA ＞ 1,级数发散;
当e = x时，比值＞1 = 1,比值判别法失效.
故｛“混单调递増，而Ui = e,从而limun
71—8
因靜=南＞L 尹0,原级数发散.
§10.1无穷级数的概念 §10.2无穷级数的基=本性质 §10.3数项级数的敛散性判别法 §10.4数项级数与幂级数 §10.5函数的幂级数展开
正项级数的敛散性判别法（二）
正项级数敛散性判别 达朗贝尔比值判别法
定理1设Z灣M为正项级数，极嗯聖* =人存在，则
(1)若2<1,级数收敛; (2)若>1 > 1 (包括；I = 8),级数发散; (3)若2=1,不能由此断定级数的敛散性.