q：x<3 或 x>a；当 a<3 时，q：x<a 或 x>3.綈 p 是綈 q 的必要不充分条
件，即 p 是 q 的充分不必要条件，即 p⇒ q 且 q 取值范围是 a≥1. 5．命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为________． 答案 存在 x∈R，使得 x2<0 解析 全称命题的否定是一个存在性命题． 6．给出下列命题： ①∀ x∈R，不等式 x2＋2x>4x－3 恒成立； ②若 log2x＋logx2≥2，则 x>1； ③“若 a>b>0 且 c<0，则 > ”的逆否命题； ④若命题 p：∀ x∈R，x2＋1≥1，命题 q：∃ x∈R，x2－x－1≤0，则命 题 p∧綈 q 是真命题． 其中，真命题为________．(填序号) 答案 ①②③ 解析 ①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为 1 1 1 log2x＋ ≥2，得 x>1；③中由 a>b>0，得 < ，而 c<0，所以原命题 log2x a b
如数列 1,2,3，…，则 ＝1， 排除 p3. 4．已知 p： 2x <1，q：(x－a)(x－3)>0，若綈 p 是綈 q 的必要不充分 x－1
an n
条件，则实数 a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞) 解析 2x x＋1 －1<0⇒ <0⇒ (x－1)(x＋1)<0⇒ p： －1<x<1.当 a≥3 时， x－1 x－1
③已知命题 p 和 q，若 p∨q 为假命题，则命题 p 与 q 中必一真一假 ④对命题 p：∃ x∈R，使得 x2－2ax－a2<0，则綈 p：∀ x∈R，x2－2ax －a2≥0 答案 ③ 解析 易知①②④都正确；③中，若 p∨q 为假命题，根据真值表，可 知 p，q 必都为假，故③错． 11．给定两个命题，命题 p：对任意实数 x 都有 ax2>－ax－1 恒成立； 命题 q：关于 x 的方程 x2－x＋a＝0 有实数根．若“p∨q”为真命题， “p∧q”为假命题，则实数 a 的取值范围为________．
2
常用逻辑用语中的“常考题型”
1． 已知集合 A＝{1， a}， B＝{1,2,3}， 则 “a＝3” 是 “A⊆ B” 的________ 条件． 答案 充分不必要 解析 若 a＝3，则 A＝{1,3}⊆ B， 故 a＝3 是 A⊆ B 的充分条件； 而若 A⊆ B，则 a 不一定为 3， 当 a＝2 时，也有 A⊆ B. 故 a＝3 不是 A⊆ B 的必要条件． π 2．命题“若 α ＝ ，则 tan α ＝1”的逆否命题是________． 4 π 答案 若 tan α ≠1，则 α ≠ 4 解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：
1 答案 －∞， 2
1 1 解析 命题 p：a≤ x2－ln x 在[1,2]上恒成立，令 f(x)＝ x2－ln x， 2 2
f′(x)＝x－ ＝ x
1 (x－1)(x＋1) ， 当 1<x<2 时， f′(x)>0， ∴f(x)min＝f(1)
x
1 1 ＝ ，∴a≤ . 2 2 9． “φ ＝π ”是“曲线 y＝sin(2x＋φ )过坐标原点”的________条件． 答案 充分而不必要 解析 当 φ ＝π 时，y＝sin(2x＋π )＝－sin 2x， 则曲线 y＝－sin 2x 过坐标原点， 所以“φ ＝π ”⇒ “曲线 y＝sin(2x＋φ )过坐标原点” ； 当 φ ＝2π 时，y＝sin(2x＋2π )＝sin 2x， 则曲线 y＝sin 2x 过坐标原点， 所以“φ ＝π ” “曲线 y＝sin(2x＋φ )过坐标原点” ，
x＝1，此时 x 的值也可能是 2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充
分不必要条件，②正确．对于③，原命题的逆否命题是： “若 x≠1，则
x2－3x＋2≠0” ，因此③正确，④中，只要 p、q 其一为假就会满足 p∧ q 为假，④错．
1 8．已知命题 p： “∀ x∈[1,2]， x2－ln x－a≥0”是真命题，则实数 a 2 的取值范围是________．
1 答案 (－∞，0)∪( ，4) 4 解析 若 p 为真命题，则 a＝0 或 即 0≤a<4； 1 若 q 为真命题，则(－1)2－4a≥0，即 a≤ . 4 因为“p∨q”为真命题， “p∧q”为假命题， 所以 p，q 中有且仅有一个为真命题． 1 若 p 真 q 假，则 <a<4； 4 若 p 假 q 真，则 a<0. 1 综上，实数 a 的取值范围为(－∞，0)∪( ，4)． 4 12 ． 对 于 原 命 题 “ 单 调 函 数 不 是 周 期 函 数 ” ，下列陈述正确的是 ________． ①逆命题为“周期函数不是单调函数” ②否命题为“单调函数是周期函数” ③逆否命题为“周期函数是单调函数” ④以上三者都不正确 答案 ④ 解析 根据四种命题的构成可得①②③中结论均不正确．
p，从而可推出 a 的
c c a b
是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈 q：∀ x∈R，x2－x－1>0，
1 5 由于 x2－x－1＝x－ 2－ ，则存在 x 值使 x2－x－1≤0，故綈 q 为假 2 4
命题，则 p∧綈 q 为假命题． 7．下列关于命题的说法中正确的是________． ①对于命题 p：∃ x∈R，使得 x2＋x＋1<0，则綈 p：∀ x∈R，均有 x2 ＋x＋1≥0 ②“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件 ③命题“若 x2－3x＋2＝0，则 x＝1”的逆否命题为： “若 x≠1，则 x2 －3x＋2≠0” ④若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题 答案 ①②③ 解析 对于①，命题綈 p：∀ x∈R，均有 x2＋x＋1≥0，因此①正确．对 于②，由 x＝1 可得 x2－3x＋2＝0；反过来，由 x2－3x＋2＝0 不能得知
所以“φ ＝π ”是“曲线 y＝sin(2x＋φ )过坐标原点”的充分而不必 要条件． 10．(2014·徐州模拟)下列命题中错误的是________． ①命题“若 x2－5x＋6＝0，则 x＝2”的逆否命题是“若 x≠2，则 x2 －5x＋6≠0” ②若 x，y∈R，则“x＝y”是“xy≤
x＋y2 中等号成立”的充要条件 2
a> α ≠ . 4 3． (2014·无锡模拟)下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；
an p3：数列 是递增数列； n
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中，真命题为________． 答案 p1，p4 解析 如数列－2，－1,0,1,2，…， 则 1×a1＝2×a2，排除 p2，