题目1证明题 容易。

证明)()()()(a f x f dt t f t x dx d xa -='-⎰解答_。

)()()()()()()()()()()()()()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dtt f a f x a dtt f a x t f t x t df t x dtt f t x xaxa xa xax a -=+-='-=∴+-=+-=-='-⎰⎰⎰⎰⎰题目2证明题 容易。

利用积分中值定理证明 0sin lim :400=⎰→dx x n n π解答_。

使上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0sin lim 1sin 0sin lim 4]4[0, ( )04(sin lim sin lim ,]4,0[, 400040=∴=∴<<⋅=∈-⋅=⎰⎰→→→∞→∞→ππξξξππξπξξπxdx dx x n n n n n n n n n n Q题目3证明题 一般。

使内至少存在一点证明：在，内可导，且在设函数0) (f ],[0)(0)(],[)(='==⎰ξξb a dx x f a f b a x f ba解答_。

使，在一点应用罗尔定理，可知存上，在区间，使存在一点由积分中值定理，在0) (b)(a,) (a ,] [0) (0))( ()( ),(11111='⊂∈=∴=-=⎰ξξξξξξξf a f a b f dx x f b a ba题目4证明题 一般。

为正整数时证明：当，设⎰⎰=+=anadx x f n dx x f n a x f x f 0 0)()( )()(解答_。

证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∴=-+-+===+=++===++=∴+=++=--anaaaana a n a aaa aa aaaa a naan aaa nadx x f n dx x f dxx f dyy f dya n y f a n y x dx x f dxx f dy y f dya y f dy a y f a y x dx x f dxx f dy y f dy a y f a y x dx x f a x f x f dxx f dx x f dx x f dx x f 0)1 ( 03 2 02 )1( 2 0)()( )( )( ))1(( )1( )( )()( )()2( 2 )( )()()( )( )()( )()()()(题目5证明题 一般。

证明： )1()1(10 10 ⎰⎰-=-dx x x dx x x m n nm解答_。

时时且则令证⎰⎰⎰⎰-=-=--=-∴====-=-=11110 )1( )1( )()1( )1( 0, 1 1, 0 1:dx x x dtt t dt t t dxx x t x t x dt dx t x m n m n n m n m题目6证明题 一般。

且上可积在则有上任意两点且对上有定义在设2)(21)()()(,],[)( .)()(,,],[,],[)(a b a f a b dx x f b a x f y x y f x f y x b a b a x f ba-≤---≤-⎰解答_。

有由定积分的不等性质即又由题设知上可积在于是上连续在因为证明222)(21)()()( 2)( )()()( 2)( )]()([ )( )]()([ , )()()()()( )()()( .],[)(,],[)( 0lim )()(),(:a b a f a b dx x f a b a f a b dx x f a b dx a x a f dxx f dxa x a f a x a f x f a x a f a x a x a f x fb a x f b a x f y x x f x x f y b a x bababa baba x -≤--∴-≤--≤---+≤≤---+≤≤--≥-≤-∴=∆∴∆≤-∆+=∆∈∀⎰⎰⎰⎰⎰→∆题目7证明题 一般。

其中证明且内可导在上的连续在设 )(sup ,)()(4 :.0)()(,),(,],[)( 2x f M a b M dx x f b f a f b a b a x f bx a ba'=-≤==<<⎰解答_。

有两式相加有取绝对值故又由有定理由假设并利用微分中值证明2222222i 2211)(4)( , )(8)()( )(8)()( )()( )()(, 2,1 .) ()(sup ),( ) ()()()()( ),( ) ()()()()( ,:a b M dx x f a b Mdx x b M dx x f a b Mdx a x M dx x f M x b x f M a x x f i M f x f M b x f b x b f x f x f x a f a x a f x f x f b a b b a bba ba ab a a bx a -≤-=-≤-=-≤-≤-≤=≤''=∈'-=-=∈'-=-=⎰⎰⎰⎰⎰++++<<ξξξξξ题目8证明题 一般。

使，内至少存在一点上正值，连续，则在在设⎰⎰⎰==bb dx x f dx x f dx x f b a b a x f a a )(21)()( ),( ],[ )(ξξξ解答_从而原式成立。

又即使在一点由根的存在性定理，存时，由于证：令⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+===∈>=<-=∴>∈-=ξξξξξξξξξ aaaaaaa xa)(2)()()()()()()(0) F(b)(a, 0)()(0)()(0)( ],[)()()(dxx f dxx f dx x f dxx f dx x f dt t f dtt f dt t f dt t f b F dt t f a F x f b a x dtt f dt t f x F bbb bbbbx Q题目9证明题 一般。

证明： sin sin0 20201⎰⎰<<+ππxdx xdx n n解答_⎰⎰⎰⎰⎰⎰<<∴>-=->-=-∈∃-=->>∈∃++++++++202012012020100010012010101sin sin00sin sin )sin(sin 0)sin 1(sin sin sin ],2,0[]2,0[)sin 1(sin sin sin 0sin 0sin]2,0[.]2,0[sin ππππππππππxdxxdx xdx xdx dx x x x x x x x x x x x xdx x x x n n n nn n n n n n n n n n n ，由性质，有使且连续非负，在又已知函数，由性质，有，使非负，且连续在已知函数证明：题目10证明题 一般。

求证：⎰<+-<1032 6421πx x dx解答_。

又时，⎰⎰⎰<+-<∴=-=-<+-<∴->--∴>=<--∴>∈10321021023223233232642164 2121 414121440244)1,0(ππx x dx x dx dx x x x x x x x x x x x x题目11证明题 一般 内恒等于零。

在区间上积分为零，证明内任一闭上连续，且在在区间设),()(),(),()(b a x f b a b a x f 解答_。

而从而则由题设。

令，证明：设0)( )()( 0)( 0)( )()( ),(),(00≡∴=Φ'=Φ'=Φ=Φ∈∀∈⎰x f x f x x x dtt f x b a x b a x xx题目12证明题 一般。

证明上连续在若函数0)(a )(21)(:,]1,0[ )( 20 0 23>=⎰⎰a adx x xf dx x f x x f解答_。

时，时，，且，则令证⎰⎰⎰⎰==⋅=∴======2220 0 0 0 2322)(21 )(21 21)( )( 0021:a a a adx x xf dtt tf dtt tf dxx f x a t a x t x dt xdx t x题目13证明题 一般。

证明上连续在和设函数⎰⎰⎰⋅≤ba ba ba dx x g dx x f dx x g x fb a x g x f )()(])()([ :,],[)()(222解答_。

即所以其判别式此二次式均非负且对任意的二次三项式不等式左端是关于即故有上连续并由题设知它在显然为参数的定积分考虑以])(][)([])()([0])(][)([])()([ 0.,,0)()()(2)(0])()([ ,],[.0)]()([])()([222222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤∴≤-≤∆≥+-≥-≥--bab ab ababababab ab ababadx x g dx x f dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f t t dx x f dx x g x f t dx x g t dx x tg x f b a x tg x f dxx tg x f t题目14证明题 一般⎰⎰+=42)d sin )(cos 2(sin d cos )2(sin ]1,0[ )( ππϕϕϕϕϕϕϕ。

证明：上连续，在设f f x f解答_右式。

左式，，则在第二个积分中，令左式=+=+=∴==--===-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4444 040 04 24 244 02)d sin )(cos 2(sind sin )2(sin d cos )2(sind sin )2(sinsintd )2(sin d(-t) )2cos())2(sin(d cos )2(sin -dtd 2t - 22d cos )2(sin d cos )2(sind cos )2(sin ππππππππππππϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕππϕϕϕϕπϕπϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f f f t t f t t f f t f f f题目15证明题 一般。

证明且上可导在设2)(2)(:,0)(,)(,],[)(a b Mdx x f a f M x f b a x f b a -≤=≤'⎰解答_。

有由定积分的比较定理又则微分中值定理上满足在由假设可知证明2)(2)()( , )()( ),( M,(x )f x )(a, ))(( )()()( , ],[)(),(,:a b Mdx a x M dx x f a x M x f b a x a x f a f x f x f x a x f b a x baba-=-≤-≤∴∈∀≤'∈-'=-=∈∀⎰⎰ ξξ题目16证明题 一般。