题目1证明题 容易d X证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a解答_Xa (x-t)f (t)dtX= [(X —t)df(t)X X=(X一t)f(t)a + [f(t)dtX= (^-X) f (a) + [ f (t)dtd X^X a(X -t)f(t)dt--f(a) f(x)f (x) - f (a)。
题目2证明题容易由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n (0) G 三[0,] n》：：0n匚44Iim Sin n 4 J 0Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n=0n _Oπ.Iim 4 Sin n XdX= 0。
—0 0题目3证明题 一般b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a证明：在［a,b ］内至少存在一点•使f 「)=0。
解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使b ［f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0f ( 1) =0在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1)(a,b)使f ( J=0b题目4证明题 一般设 f (x) = f (x +a)，naa证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx解答利用积分中值定理证明 解答π:Ijm 4Sin nXdX 二 0 n 0 02naa2ana证明：f(x)dx= f(x)dx f(x)dxf(x)dx =0=0^a=( n丄)af(x) = f (x a)2 aa aaa f(x)dxx =y a 0 f(y a)dy = 0 f(y)dy = O f(x)dx 3aaa2a f (x)dxx = y 2a O f (y 2a)dy = 0 f(y a)dya a=.0f(y)dy = 0f(x)dxnaa(n 仆 f (x)dx x =y (n - 1)a O f (y (n — 1)a)dya=0f(y)dya0f(x)dxna a.0 f(x)dx= n 0f(x)dx°题目5证明题一般1 1证明：X m (I-X)n dx X n (I-X)m dx o解答_证:令X =1 -t 贝 UdX = -d 且X =0 时,t =1 X =1 时,t =01•x m (1-x)n dx=.1(1-t)m t(dt)1= 0t n(1 - t)m dt1=J 0χn (1-x)m dx题目6证明题 一般设f (x)在［a,b ］上有定义，且对［a,b ］上任意两点x, y,有 f (x) - f (y) _ X - y.则f (x)在［a,b ］上可积,且1解答b1af(x)dx -(b-a)f(a)兰；(b-a)< X -a(x _ a)即 f (a) -(x -a) Ef(X)Ef (a) (x -a) 由定积分的不等性质，有b［［f (a) —(x —a)］dxb af(x)dxba ［f(a) (X -a)］dx -ba f (x)dx -(b - a) f (a)”:(b-a)2 _ 2b几［f (x)dx -(b -a) f (a)题目7证明题一般设f (x)在［a,b ］上的连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f (b) = 0. 、b2证明：4 I L f (x)dx 兰 M (b —a),其中 M=SUP f "(x)I a_ L-1(a,x)2(x,b)= 1,2I f 2∣f(x)dx≤M I a 2(x —a)dx =M (b —a)b bM 2a b f (x)dx 乞 M a b (b-x)dx (b-a)228两式相加,有f ∣f(x)dx 兰 M(b —a)2。
a 4题目8证明题 一般设f (x)在［a,b ］上正值，连续，则在 (a,b)内至少存在一点 匚 b 1 b使 a f(x)dx = f(x)dx f(x)dx证明：∖∕x E (a,b)因为 ∆y =| f (x +&) - f (x) ≤ A *.Iim L y =O.f (x)在［a, b ］上连续，于是f (X)在［a, b ］上可积. 又由题设知If(X) — f (a)(b-a)2 2-1(b -a)2。
2a : ∙x :b 解答_证明：由假设并利用微分中值 定理,有f (X) = f (X) -f (a) =(x -a)f (1f (x) = f (x) - f (b) = (x -b) f ( 2) 又由 M=SUPf (X)故 f ( i ) EM. i a :X Ib 取绝对值，有f (X) _(x -a)M f (x) _(b -x)Ma -ba -b解答X b证：令F(X)= f(t)dt - f(t)dtU a J X由于X ［a,b］时，f(x) 0b-F(a) —a f(t)dt ：：：0bF(b) f(t)dt 0V a由根的存在性定理，存在一点-(a,b)使F( )=0已 b即［f(t)dt = %f(t)dtb E b又Q a f(t)dt = a f(x)dx . f (x)dx巴 bf(x)dx . f (x)dxa ■>=2 f (x)dxa从而原式成立。
题目9证明题一般πJI证明：0 < 02 Sin n*xdx c J2sin n XdX。
解答_证明：已知函数Sin 连续•非负，且X0 [0二],使2 2πSin n41x°>0，由性质，有0 Sin nd1xdxn0又已知函数Sin n X-Sin n* X = Sin n x(1 -Sin x)在［0,工］连续非负,2且X0 ［0, 2 ］，使Sin n X0 -sin n 1 x。
= Sin n x°(1 -Sin x°) 0,由性质，有解答π『(Sin n X-Sin n*π二0 £ I L2 Sin n* XdX Cj0题目10证明题一般1 1dx 求证:-：：：一2 04πx)dx = 02sin n XdX -π2sin n XdXπ2Sin n舟XdXAπ。
-χ2X3 6X (0,1)时，x 2 x 3 ...4 -χ2 -χ3 ：： . 4 = 2 又χ3 0 .4 -X 2 -X 3 . 4- X1 1 12. 4 -χ2 χ3. 4-X11 1 dχ = 02 2 1dχ _ 二 厂4> =6 1 1dχ 二 。
2Lx 2 +χ36题目11证明题 一般设f(x)在区间(a,b)上连续，且在(a,b)内任一闭 区间上积分为零，证明f(x)在(a,b)内恒等于零。
解答_证明：设 x 0 ∙ (a,b)，-X ∙ (a,b)。
令XG(X) = x f(t)dt x0 则由题设：•：」(x) =0 从而G (X)=O而"(X) = f (x).f(x)≡0°题目12证明题 一般 若函数f (X)在［0,1］上连续,a 32 1 a 2证明：0X f(x )dxXf (x)dx (a 0)。
解答_2 1证:令X =t ，则XdX dt ,且x=0时，t = 02X= a 时，t = a 2a30X f (X )dxa 2 1=0t f(t) -dt1a 2= 2 -0 tf(t)dt _ 12 题目13证明题 一般设函数f (x)和g(x)在［a,b ］上连续,b2 b 2b 2证明:［a f(x)g(x)dx ］ < a f (X)dx a g (x)dx 。
解答a 2OXf(X)dx 。
考虑以t为参数的定积分b2f[f(X) —tg(x)] dx显然[f(x) -tg(x)]2 _0.并由题设知它在[a,b]上连续,故有[& f (x) -tg(x)]2dx _ 02 b 2 b b 2即t a g(X)dx—2t[ f(x)g(x)dx + [ f (x)dxK0不等式左端是关于t的二次三项式,且对任意t, 此二次式均非负.所以其判别式.■: < 0b b b即[[f(χ)g(χ)dχ]2—[[ f2(x)dx][ [g2(χ)dχ]≤0b 2 b 2 b 2-[a f(x)g(x)dx] <[ a f (x)dx][ a g (x)dx]o题目14证明题一般设f (x)在[0,1]上连续，ππ证明：02 f(sin2)cos:d = 04 f(sin2 )(cos「亠Sin :)d : 解答_π左式=『f (sin 2®)cos® d®ππ=Q4 f (Si n2)cos :d「亠∣2∙f(si n2 )cos:d :4在第二个积分中，令t,则2即房-2t, d即=-dt2π_2 f (Sin 2 ) cos ：d :40二f (si n(二-2t))cos( t)d(-t)4 2π=∫04 f (sin2t)sintdtπ=∫04 f(sin2c P)sin c P d c Pππ.左式=o4 f (Sin2 Jcos V 亠14 f (sin2 Jsin :d :π二O4 f (sin2 J(CoS i Sin )d :=右式。
题目15证明题一般设 f (x)在[ a, b]上可导,且 f (x) EM, f(a) =0,b MC证明:a f (x)dx ≤M(b—a)2o解答证明：由假设可知广X (a,b)f(x)在[a,x]上满足微分中值定理，则f (X) = f(x) 一f (a)f ( )(x-a) (a,x)又.f (x)二M, -χ= (a,b).f(x)^M(x-a)由定积分的比较定理，有f f(x)dxι≡f M(x_a)dx=M(b_a)2。
题目16证明题一般设f (x)在[Q2a],(a 0)上连续,2a a证明：f(x)dx= j[f(x) f(2a-x)]dx。
解答_2a a 2a由于O f (x)dx = O f(X)dx a f (x)dx令X = 2a 7,贝U dx = -dt2a a aO f(x)dx = j0 f (x)dx 0f (2a -t)dta二0[f (X) f(2a -x)]dx。
题目17证明题一般设k为正整数，证明：.π 2(1) CoS kxdx = ■:;- 2(2) S in kxdx =二。
--JI解答_.π 2(1) cos kxdx二1 cos2kx Idx-二 2=[1 X + 1Sin2kx] π2 4k -TI ππ七0)r°)(2) Sin 2kxdx二 1 -cos2kx Idx-二 21 1 兀=[一X-—Sin 2kx]2 4k 一兀JI j[七-0)-(0)2 2=二。