弹簧类系列问题[P3.] 复习精要轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻质弹簧为载体，设置复杂的物理情景，考查力的概念，物体的平衡，牛顿定律的应用及能的转化与守恒，是高考命题的重点，此类命题几乎每年高考卷面均有所见,，引起足够重视.(一)弹簧类问题的分类1、弹簧的瞬时问题弹簧的两端都有其他物体或力的约束时，使其发生形变时，弹力不能由某一值突变为零或由零突变为某一值。

2、弹簧的平衡问题这类题常以单一的问题出现，涉及到的知识是胡克定律，一般用f=kx或△f=k•△x来求解。

3、弹簧的非平衡问题这类题主要指弹簧在相对位置发生变化时，所引起的力、加速度、速度、功能和合外力等其它物理量发生变化的情况。

4、弹力做功与动量、能量的综合问题在弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系，一般以综合题出现。

有机地将动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化结合在一起。

分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。

[P5.] (二)弹簧问题的处理办法1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力.当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应.在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置，现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化.2.因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变.因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变.3.在求弹簧的弹力做功时，因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算，也可据动能定理和功能关系：能量转化和守恒定律求解.同时要注意弹力做功的特点：W k =－（½kx 22－½kx 12），弹力的功等于弹性势能增量的负值.弹性势能的公式E p =½kx 2，高考不作定量要求，可作定性讨论.因此，在求弹力的功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解.[P7.] 例1.（2001年上海）如图（A ）所示，一质量为m 的物体系于长度分别为l 1、l 2的两根细线上，l 1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l 2水平 拉直，物体处于平衡状态.现将l 2（1）下面是某同学对该题的一种解法：解：设l 1线上拉力为T 1，l 2线上拉力为T 2，重力为mg 持平衡：T 1cos θ=mg ,T 1sin θ=T 2, T 2=mg tan θ 剪断线的瞬间，T 2突然消失，物体即在T 2反方向获得加速度.因为mg tan θ=ma ,所以加速度a =g tan θ,方向在T 2反方向 ,你认为这个结果正确吗?请对该解法作出评价并说明理由.答：（1）结果不正确.因为l 2被剪断的瞬间，l 1上张力的大小发生了突变，此瞬间T 1=mg cos θ, a = g sin θ（2）若将图A 中的细线l 1改为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图（B ）所示，其他条件不变，求解的步骤与（1）完全相同，即a =g tan θ结果正确吗?请说明理由.答：（2）结果正确，因为l 2被剪断的瞬间、弹簧l 1发生突变、T 1的大小和方向都不变. [P9.]例2、（2005年全国理综III 卷）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k,C 为一固定挡板。

系统处一静止状态，现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d ，重力加速度为g 。

解：令x 1表示未加F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 令x 2表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量，a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：mgsinθ=kx 1 ①k x 2=m B gsin θ ②F －m A gsin θ－k x 2=m A a ③得 A B A m sin g )m m (F a θ+-= C θ AB由题意 d=x 1+x 2 ⑤由①②⑤式可得ksin g )m m (d B A θ+= [P10.] 例3、如图示，倾角30°的光滑斜面上，并排放着质量分别是m A =10kg 和m B =2kg 的A 、B 两物块，一个劲度系数k=400N/m 物块B 相连，另一端与固定挡板相连，现对A 施加一沿斜面向上的力F ，使物块A 作匀加速运动，已知力 F 在前0.2s 内为变力，0.2s 后为恒力，g 取10m/s 2 ， 求F 的最大值和最小值。

答： F min = (m A + m B ) a = 60NF max = m A g sin α + m B a = 100N[P12.] 例4. A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动（g =10 m/s 2）.（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对木块做的功.解: 当F =0（即不加竖直向上F 力时）,设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x ，有kx =（m A +m B ）g,, x =（m A +m B ）g /k 对A 施加F 力，分析A 、B 受力如图对A F+N-m A g=m A a ②对B kx ′-N-m B g=m B a ′ ③可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a = a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小F 增大.当N=0时，F 取得了最大值F m ,即F m =m A （g+a ）=4.41 N又当N=0时，A 、B 开始分离，由③式知此时，弹簧压缩量kx ′= m B (a +g)， x ′=m B (a +g)/k④ AB 共同速度 v 2=2a （x ′-x ） ⑤由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J设F 力功WF ，对这一过程应用动能定理或功能原理B AW F +E P -（m A +m B ）g （x ′-x ）=1/2（m A +m B ）v 2⑥联立①④⑤⑥,且注意到E P =0.248J,可知W F =9.64×10-2J[P15.] 例5. (2005年全国卷Ⅰ)24． 如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m 的物体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。

一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。

开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。

为3m 的物体C 并从静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。

若将C 另一个质量为)(21m m +的物体D 放，则这次B 刚离地时D 答：k m m g m m m v )2()(2312211++=[P18.]例6.（2004年广西卷17）．（16分）图中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平导轨上，弹簧处在原长状态。

另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离1l 时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连。

已知最后A 恰好返回出发点P 并停止。

滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为2l ，求A 从P 出发时的初速度0v 。

解：令A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为1v 由功能关系，有121202121mgl mv mv μ=- ① A 、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为.2v 有212mv mv = ②碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A 、B 的共同速度为3v ，在这过程中，弹簧势能始末两态都为零，利用功能关系，有)2()2()2(21)2(2122322l g m v m v m μ=- ③ 此后A 、B 开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由功能关系有12321mgl mv μ= ④ 由以上各式，解得 )1610(210l l g v +=μ ⑤[P20.] 07年1月苏州市教学调研测试17．（15分）如图所示，质量均为m 的A 、B 两球间有压缩的轻短弹簧处于锁定状态，放置在水平面上竖直光滑的发射管内2（两球的大小尺寸和弹簧尺寸都可忽略，它们整体视为质点），解除锁定时，A 球能上升的最大高度为H ．现让两球包括锁定的弹簧从水平面出发，沿光滑的半径为R 的半圆槽从左侧由静止开始下滑，滑至最低点时，瞬间解除锁定．求：（1）两球运动到最低点弹簧锁定解除前所受轨道的弹力；（2）A 球离开圆槽后．．．．．能上升的最大高度. 解：（1）（6分）A 、B 系统由水平位置滑到轨道最低点时速度为v 0，根据机械守恒定律2mgR =122m v 02 ① 设轨道对小球的弹力为F ，根据牛顿第二定律2022v F mg m R-= ② 得 F ＝6mg ③(2) （9分）解除锁定后弹簧将弹性势能全部转化为A 、B 的机械能，则弹性势能为E P ＝mgH ④解除锁定后A 、B 的速度分别为v A 、 v B ，解除锁定过程中动量守恒02B A mv mv mv =+ ⑤系统机械能守恒12 2mv 02＋E P ＝12 m v A 2＋12m v B 2 ⑥ 联立上述各式得A v = ⑦正号舍去 A v ⑧设球Amg (h+R )= 12m v A 2 ⑨整理后得 2H h = ⑩ [P23.] 06年广东汕头市二模17 .（16分）如图示，一轻质弹簧一端固定、另一端与质量为M 的小滑块连接，开始时滑块静止在水平导轨的O 点，弹簧处于原长状态．导轨的OA 段是粗糙的，其余部分都是光滑的．有一质量为m 的子弹以大小为v 的速度水平向右射入滑块，并很快停留在滑块中．之后，滑块先向右滑行并越过A 点，然后再向左滑行，最后恰好停在出发点O 处．（1）求滑块滑行过程中弹簧弹性势能的最大值．（2）滑块停在O 点后，另一质量也为m 的子弹以另一速度水平向右射入滑块并很快停留在滑块中，此后滑块滑行过程先后有两次经过O 点．求第二颗子弹入射前的速度u 的大小在什么范围内？解： （1）设OA 段的长度为l ,与滑块间的动摩擦因数为μ, 设第一颗子弹射入滑块后滑块的速度为v 1，由动量守恒定律得 m v =(M+m)v 1 ①滑块向右滑行至最右端时，弹簧弹性势能达到最大，设为E P ，由功能关系得 1/2∙(M+m)v 12 = μ(M+m) ∙ g l +E P ②滑块由最右端向左滑行至O 点，由功能关系得E P =μ(M+m)g l ③ 解得)m M (v m E P +=422 ④ （2）设第二颗子弹射入滑块后滑块的速度为v 2，由动量守恒定律得 mu=(M+2m)v 2 ⑤若滑块第一次返回O 点时就停下,则滑块的运动情况与前面的情况相同 1/2∙ (M+2m)v 22=μ(M+2m)g ∙ 2 l ⑥ 解得v mM m M u ++=2 ⑦ 若滑块第一次返回O 点后继续向左滑行，再向右滑行，且重复第一次滑行过程，最后停在O 点，则1/2∙ (M+2m)v 22 =μ(M+2m)g ∙ 4l ⑧ 解得v mM m M u 22++= ⑨ 第二颗子弹入射前的速度u 的大小在以下范围内v mM m M u v m M m M 222++<<++ ⑩ [P26.]例7、 如图示，在光滑的水平面上，质量为m 的小球B 连接着轻质弹簧，处于静止状态，质量为2m 的小球A 以初速度v 0向右运动，接着逐渐压缩弹簧并使B 运动，过了一段时间A 与弹簧分离.（1）当弹簧被压缩到最短时，弹簧的弹性势能E P 多大？（2）若开始时在B 球的右侧某位置固定一块挡板，在A 球与弹簧未分离前使B 球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B 球与挡板的碰撞时间极短，碰后B弹性势能达到第（1）问中E P 的2.5倍，必须使在速度多大时与挡板发生碰撞？ 解： （1）当弹簧被压缩到最短时，AB 两球的速度相等设为v ，由动量守恒定律2mv 0=3mv由机械能守恒定律E P =1/2×2mv 02 -1/2×3mv 2 = mv 02 / 3 （2）画出碰撞前后的几个过程图 由甲乙图 2mv 0=2mv 1 +mv 2 由丙丁图 2mv 1- mv 2 =3mV 由甲丁图,机械能守恒定律（碰撞过程不做功）1/2×2mv 02 =1/2×3mV 2 +2.5E P解得v 1=0.75v 0 v 2=0.5v 0 V=v 0/3 [P28.]例8. 在原子物理中，研究核子与核子关联的最有效途经是“双电荷交换反应”。