引入算子
x E 0 0
其中 i
0 y 0
0 0 z
0 z y
z 0 x
y x 0
j k ( x y z x
y
T ) z
定义：单位体积中具有的应变能称为（应变）比能，记为 对杆：
U P d d V 0A L 0


上式适用于非线性应力应变关系。特别： P , 即 为线性关系（Hooke 定律）
E

（5-6） (与路径无关) （5-7）

E d
x, y, z
因此， 为一般坐标 M x, y, z 的场函数，又应力、应变也是坐标 M x, y, z 的场函数。
8
空间问题均质弹性体的应力和应变张量 σ x, y , z ， ε x, y, z 分别为六个独立分量函数：
σ ( x, y, z ) x y z yz zx xy ( x, y , z ) ε ( x, y, z ) x
x 1 y E z
1 1 0 0
0 x 0 y 2 xy
§0.5 弹性力学变分原理（Variational Principle of Elastic Mechanics） 一、弹性体的形变势能
T
y z yz zx xy ( x, y , z )
T
如何计算三维弹性体的应变比能 ？先通过事例介绍二维弹性体的应变比能计算。 例题 4-1：受轴向力的线弹性直杆，见前图。应变比能有

A 1 F外力 dr F 弹力 dr k 02 2 A0 A0 2 A


3. 弹性杆的形变势能（应变能） 例：A 为杆截面积，L——杆长
6
P L
P

(N / m ) 合力记为N , 则N P
2
P
P 1
一般为非线性关系
0
d
1

w Pd
材料试件单向拉伸 P 曲线
V
注： w 0
k 2 02 （外力功） 2 1 k 02 2 （弹性力的功） 2


(5-3)


特别：以弹簧的自然位置为零势点，则弹性能
V
外力的功） 弹性能=外力做功
V
1 2 k 2
其中矩阵
Py
Pz

Px
l 0 0 0 n m E ν 0 m 0 n 0 l 0 0 n m l 0
§0.3 本构方程（应力、应变关系）Relation of Stress and Strain
对均质各向同性线弹性体有广义 Hooke 定律
σ Dε ,
对平面应力问题有
z 0, z
x y , kk x y , xy u x u y E y x
4
应力应变关系：
x E y 2 1 xy
1 0
1
3
体力（外力, N m ） ： f fx

fy
fz
T
一、平衡方程： （由微六面体平衡所致）
x xy xz fx 0 y z x y xy yz fy 0 x z y yz z xz fz 0 x y z
§0.4 弹性力学平衡问题的微分方程提法
方程（15 个） 边界条件 未知函数（15 个） 类型 静力平衡
E σ f 0
P E ν σ (应力型，
自由边， )
σ
ε E T u
σ Dε
或 ε D 1σ
u u（位移型，u ）
ε，u
几何连续性 物理性
P x, y , z
x
z
1
二、应变：P 点处在 xyz 轴的三个微段的变化，得到变状态的 6 个分量
ε x
y
z
yz
zx
xy T
几何方程（6 个） ：位移、应变之关系
x
v w v u v u w u w ， y ， z ， yz ， xz ， xy x y z y z z x y x
0
1 1 E 2 2 2
PS
PC
（如 x 轴沿杆轴向：可记
1 x x ） 2
B
4. 一般三维均质弹性体

z

M x, y , z
0
y
x
弹性体 中任一点 M x, y, z 处有微元体 B
x, y, z
UB U lim B VB VB 0 VB
由上解出 （位移表示的应力边界条件）
uε σ。
1 1 fx 0 1 2 x G 1 1 2v fy 0 1 2 y G 1 1 2w fz 0 1 2 z G 2u
显式：
式中
u v w 2 2 2 2 ， ， u， x y z x 2 y 2 z 2
0
0 x 0 y , 1 xy 2
x 1 1 y E 0 xy
1 0
x 0 y 21 xy 0
对平面应变问题有
z 0, z x y
1 1 2 x E y 1 1 xy 0
1 2 1 1 2
0
0 x 0 y ； 1 xy 2
第0章
弹性力学基本方程
弹性力学的任务：寻求弹性体在外力作用下，物体的变形、内力分布规律 外力 变形(位移)、内力（应力）
§0.1 应变分析（Strain Analysis）
取笛卡尔坐标轴 oxyz，对空间上任一点处的任一方向用矢量 表示 其单位方向矢量为 ν li mj nk



1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 21 0 0 0 21
3
物理量： ——Lame 常数，G——剪切模量，E——弹性模量， ——泊松比
G
E E , 1 1 2 21
引子： 1. 弹性力做功 一弹簧支于 O 点，弹簧原长为 l0 ，见 图 5-1。在受外力 P 作用，其弹簧（性）力
F k r l0 er k r l0
r r
（5-1）
式中 k —弹簧刚度系数 N/m ，N/mm 。弹性力大小 F k ，方向 er r / r ，r 表示 OA ，
A2
(5-2)
性质：
1 弹性力做功： w12 仅与弹簧初、末变形量 1 、 2 有关，与路径无关； 2 w12 可正、可否；
1 1 3 特别 1 0 时， w12 k 22 ，注：外力做功 w w12 k 22 。 2 2
2. 弹性力场中的势能：弹簧力做功的负值 以变形量为 0 处为势能零点，则在 处，弹簧力的势能 V 为
弹性力学平衡问题 微分方程边值问题（15 个方程求解 15 个未知量，在 u ， ） 解法： （1）位移法； （2）应力法； （3）混合法 弹性力学位移法定解问题：物体表面 u 取未知函数 u ，经变换
: E DE T u f 0
: u : u u ； : P E ν DE T u
ε D 1σ
物理线性
D 称为弹性矩阵
1 1 E 1 1 D 1 1 2 0 0 0
1
1
1 1
1 0 0 0
0 0 0 1 2 21 0 0
0 0 0 0 1 2 21 0
1
0 0 0
0 0 0 0 1 2 21 0
D 1
1 1 E 0 0 0
1 0 0 0
为梯度矢
ε E T u
（几何线性）
在单连通域中： ε u 一一对应，但多连通域中未必一一对应
§0.2 应力分析（Stress Analysis）
取 P 点处一微平行六面体与 xyz 平行，决定 P 点应力状态的 6 个分量为
σ x
y z yz zx xy T
弹性杆在轴向力 P 作用下，产生均匀的轴向应力 ，轴向应变

N A,

L
(5-4)
假定：弹性体在受力的过程中始终保持平衡 外力 P 做功:
w Pd
0

（5-5）
外力功 w 以弹性应变能储存于杆中。 杆的应变能 U 等于外力功 W （例：射箭）

U W Pd
0
7
《有限元法》课程讲稿
合肥工业大学土木与水利学院工程力学系
牛忠荣
1987-2011 年制作, 2014 年 2 月新修改
参考书：
1. 王元汉、李丽娟、李银平《有限元法基础与程序设计》 ，华南理工大学出版社，2002 年， 第一版 2. 王勖成，邵敏《有限单元法基本原理和数值方法》 ，清华大学出版社，1997 年，第二版 3. 何福保,丁皓江编《弹性和塑性力学中的有限单元法》 ，机械工业出版社， 1989-年，第 二版 4.