第十一章弹性力学的变分原理一.内容介绍由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。

一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。

因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。

变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。

变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。

本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。

最后，将介绍有限元方法的基本概念。

本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。

二.重点1. 几何可能的位移和静力可能的应力；2. 弹性体的虚功原理；3. 最小势能原理及其应用；4. 最小余能原理及其应用；5. 有限元原理的基本概念。

知识点静力可能的应力弹性体的功能关系功的互等定理弹性体的总势能虚应力应变余能函数应力变分方程最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移虚位移虚功原理最小势能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法伽辽金(Гапёркин）法最小余能原理平面问题最小余能近似解基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析附录3 变分原理泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。

因此泛函也称为函数的函数。

变分法的基本问题是求解泛函的极值。

对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。

弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。

因此，应变能就是泛函。

在数学分析中，讨论函数和函数的极值。

变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。

下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。

如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。

参考资料§1 泛函和泛函的极值§2 泛函极值的必要条件-欧拉方程§3 自然边界条件§4 泛函变分的基本运算法则§11.1 弹性变形体的功能原理学习思路:本节讨论弹性体的功能原理。

能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。

而功能关系是能量原理的基础。

首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。

建立弹性体的功能关系。

功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。

学习要点：1. 静力可能的应力；2. 几何可能的位移；3. 弹性体的功能关系；4. 真实应力和位移分量表达的功能关系。

假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。

表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S；另外一部分是表面积的面力u给定，称为Sσ 。

如图所示。

显然+SσS=Su假设有一组应力分量σij在弹性体内部满足平衡微分方程在面力已知的边界Sσ，满足面力边界条件这一组应力分量称为静力可能的应力。

静力可能的应力未必是真实的应力，因为真实的应力还必须满足应力表达的变形协调方程，但是真实的应力分量必然是静力可能的应力。

为了区别于真实的应力分量，我们用表示静力可能的应力分量。

假设有一组位移分量u i和与其对应的应变分量εij，它们在弹性体内部满足几何方程在位移已知的边界S u上，满足位移边界条件这一组位移称为几何可能的位移。

几何可能的位移未必是真实的位移，因为真实的位移还必须在弹性体内部满足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的边界Sσ上，必须满足以位移表示的面力边界条件。

但是，真实的位移必然是几何可能的。

为了区别于真实的位移，用表示几何可能的位移。

几何可能的位移产生的应变分量记作。

对于上述的静力可能的应力、几何可能的位移以及其对应的应变分量，设F b i 和F s i分别表示物体单位体积的体力和单位面积的面力（面力也包括在位移边界S u的约束反力）。

则不难证明，有以下恒等式证明：由于和满足几何方程，而且应力是对称的，所以将上式代入等式的右边，并且利用高斯积分公式，可得由于满足面力边界条件，上式的第一个积分为由于满足平衡微分方程，所以第二个积分为将上述结果回代，可以证明公式为恒等式。

公式揭示了弹性体的功能关系。

功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能位移上所做的功，等于任意一组静力可能应力在上述几何可能位移对应的应变分量上所做的功。

这里需要强调指出的是：对于功能关系的证明，没有涉及材料的性质，因此适用于任何材料。

当然，证明时使用了小变形假设，因此必须是满足小变形条件。

其次，功能关系中，静力可能的应力、几何可能的位移以及其对应的应变分量，可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。

假如静力可能的应力和几何可能的应变分量满足材料本构方程时，则对应的静力可能的应力和几何可能的位移以及其对应的应变分量均成为真实的应力，位移和应变分量。

对于真实的应力，位移和应变分量，功能关系为显然这是应变能表达式。

不过在应变能公式中，假设外力，即体力和面力是由零缓慢地增加到最后的数值的，因此应变能关系式中有1/2。

而在功能关系公式的推导中，并没有这一加载限制。

功能关系是弹性力学中的一个普遍的能量关系，这一原理将用于推导其它的弹性力学变分原理。

§11.2 变形体的虚功原理学习思路:本节讨论的重点是弹性体的虚功原理。

首先定义虚位移概念，通过将几何可能的位移定义为真实位移与虚位移的和，可以确定虚位移是位移边界条件所容许的位移微小改变量。

对于虚位移所产生的虚应变，记作δεij。

根据弹性体的功能关系，可以得到虚功方程表达式δW =δU。

虚功方程的意义为：如果弹性体是处于静力平衡状态的，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。

这就是虚功原理。

虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。

学习要点：1. 虚位移与虚应变；2. 虚功原理；3. 虚功原理的意义。

功是指力与力作用点处沿力方向位移的乘积。

显然，功包括力和位移两个基本量。

如果力或者应力在其自身引起的真实位移或者应变上作功，这种功称为实功；如果力或者应力在其他某种原因引起的微小位移或者应变上作功，这种功称为虚功。

设几何可能的位移为这里u i为真实位移，δ u i称为虚位移。

虚位移是位移边界条件所容许的上，应该满足位移边界条件，位移的微小改变量。

由于几何可能的位移在边界Su因此,边界S，有uδ u i=0将几何可能位移公式代入几何方程显然，上式右边的第一项是真实应变，而第二项是虚位移所产生的虚应变，记作δεij。

因此，上式可以写作几何可能的位移对应的应变可以用真实应变与虚位移所产生的虚应变之和表如果用虚位移表达的几何可能位移、和真实应力作为静力可能应力代入功能关系表达式，注意到真实应力和位移是满足功能关系的，因此可以得到用虚位移δ u i和虚应变δεij表达的虚功方程上，虚位移是恒等于上式中应力分量为实际应力。

注意到在位移边界Su零的，所以在上述面积分中仅需要在面力边界Sσ上完成。

就力学意义而言，虚功原理表达式的等号的左边为外力在虚位移中所做的功，称为外力虚功δ W；右边为应力分量在虚位移对应的虚应变上产生的应变能，称为虚应变能δ U。

即δ W =δU根据上述分析，可以得出结论：如果弹性体是处于静力平衡状态的，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变而言，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。

这就是虚功原理。

对于虚功方程，其右边的积分可以写作上式在推导中应用了在位移边界S上，δ u i＝0的边界条件。

现在将上式u回代到虚功方程，整理可得因为虚位移δ u i是任意的，因此上式的成立，要求在弹性体内在位移已知边界S u上,有显然，虚功原理等价于平衡微分方程和面力边界条件，它满足了静力平衡的要求。

应该指出：虚功原理的推导并没有涉及任何材料性质，因此适用于任何材料。

当然，由于使用了小变形假设，即线性的几何方程，因此虚功原理必须是在小变形条件下适用于任何材料。

除此以外应力和应变分量之间不需要满足任何关系。

§11.3 功的互等定理学习思路:本节讨论功的互等定理。

定理的证明比较简单，将功能方程应用于同一弹性体的两种不同的受力和变形状态，则可以得到功的互等定理。

它是弹性体功能原理的另一种应用形式。

功的互等定理可以描述为：作用在弹性体上的第一种状态的外力，包括体力和面力，在第二种状态外力对应的位移上所做的功为例，等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。

功的互等定理是一个十分重要的力学概念。

它的应用可以帮助我们推导和理解有关的有关的力学公式和概念，同时也可以直接用于求解某些弹性力学问题。

学习要点：1. 功的互等定理；2. 功的互等定理的应用。

如果将功能方程应用于同一弹性体的两种不同的受力和变形状态，则可以得到功的互等定理。

假设第一种状态的体力为，在面力边界S 上的面力为，在位移已知的边界S的位移为，弹性体内部的应力，应变和位移分别为u；第二种状态的体力，面力，应力，应变和位移分别为， ,。

由于两种状态的应力和应变分量都是真实解，所以它们当然也就是静力可能的和几何可能的。

现在把第一种状态的应力作为静力可能的应力，而把第二种状态的位移和应变作为几何可能的位移和应变。

将上述两种状态的应力和位移分别代入功能方程，有同理，把第二种状态的应力取为静力可能的应力，而把第一种状态的位移和应变作为几何可能的位移和应变分别代入功能方程，有对于上述公式的右边，由于所以上式称为功的互等定理。

功的互等定理可以叙述为：作用在弹性体上的第一种状态的外力，包括体力和面力，在第二种状态对应的位移上所做的功等于第二种状态的外力在第一种状态对应的位移上所做的功。

功的互等定理是一个十分重要的力学概念。

主要用于推导有关的力学公式，也可以直接用于求解力学问题。