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基本不等式练习题及答案

双基自测
1.(人教A版教材习题改编)函数y=x+1x(x>0)的值域为( ).
A.(-∞,-2]∪[2,+∞) B.(0,+∞)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)

2.下列不等式:①a2+1>2a;②a+bab≤2;③x2+1x2+1≥1,其中正确的个
数是
( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( ).
B.1 C.2 D.4

4.(2011·重庆)若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=a处取最小值,则a=
( ).
A.1+2 B.1+3 C.3 D.4

5.已知t>0,则函数y=t2-4t+1t的最小值为________.

考向一 利用基本不等式求最值
【例1】►(1)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则1x+1y的最小值为________;

(2)当x>0时,则f(x)=2xx2+1的最大值为________.
【训练1】 (1)已知x>1,则f(x)=x+1x-1的最小值为________.
(2)已知0<x<25,则y=2x-5x2的最大值为________.
(3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,则x+y的最小值为________.

考向二 利用基本不等式证明不等式
【例2】►已知a>0,b>0,c>0,求证:bca+cab+abc≥a+b+c.

【训练2】 已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.

求证:1a+1b+1c≥9.
考向三 利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】►(2010·山东)若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值
范围是________.
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2
恒成立,则实数m的最大值是________.
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地
理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,
房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元,如果墙
高为3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低
【训练3】 (2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为
10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工
厂投入100万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本.预
计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数
n

的关系是g(n)=80n+1.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为
f(n
)万元.

(1)求出f(n)的表达式;
(2)求从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元

【试一试】 (2010·四川)设a>b>0,则a2+1ab+1aa-b的最小值是
( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
双基自测
D.(2,+∞)
答案 C

2.解析 ①②不正确,③正确,x2+1x2+1=(x2+1)+1x2+1-1≥2-1=1.
答案 B
3.解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤12.答案
A
4.解析 当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)+1x-2+2≥2

x-2×1x-2+2=4,当且仅当x-2=1x-2(x>2),即x
=3时取等号,

即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3.答案 C
5.解析 ∵t>0,∴y=t2-4t+1t=t+1t-4≥2-4=-2,当且仅当t=1
时取等号.答案 -2
【例1】解析 (1)∵x>0,y>0,且2x+y=1,

∴1x+1y=2x+yx+2x+yy=3+yx+2xy≥3+22.当且仅当yx=2xy时,取等号.

(2)∵x>0,∴f(x)=2xx2+1=2x+1x≤22=1,当且仅当x=1x,即x=1时取等

号.答案 (1)3+22 (2)1
【训练1】.解析 (1)∵x>1,∴f(x)=(x-1)+1x-1+1≥2+1=3 当且

仅当x=2时取等号.(2)y=2x-5x2=x(2-5x)=15·5x·(2-5x),∵0<x<25,
∴5x<2,2-5x>0,∴5x(2-5x)≤5x+2-5x22=1,∴y≤15,当且仅当5x=2
-5x,
即x=15时,ymax=15.(3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴2y+8x=1,
∴x+y=(x+y)8x+2y=10+8yx+2xy=10+24yx+xy≥10+2×2×
4
yx·x
y
=18,

当且仅当4yx=xy,即x=2y时取等号,又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6,
∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.
答案 (1)3 (2)15 (3)18

【例2】证明 ∵a>0,b>0,c>0,∴bca+cab≥2 bca·cab=2c;bca+
ab
c

≥2 bca·abc=2b;cab+abc≥2 cab·abc=2a.以上三式相加得:
2bca+cab+abc≥2(a+b+c),即bca+cab+abc≥a+b+c.
【训练2】
证明 ∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1a+1b+1c=a+b+ca+
a+b+c
b

+a+b+cc=3+ba+ca+ab+cb+ac+bc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc
≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,取等号.
解析 若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,只需求得y=xx2+3x+1的最
大值即可,因为x>0,所以y=xx2+3x+1=1x+1x+3≤12 x·1x=15,当且仅当

x=1时取等号,所以a
的取值范围是15,+∞答案 15,+∞

【训练3】解析 由x>0,y>0,xy=x+2y≥2 2xy,得xy≥8,于是由
m-2≤xy恒成立,得m-2≤8,m≤10,故m
的最大值为10.答案 10

【例3.解 由题意可得,造价y=3(2x×150+12x×400)+5 800=
900x+16x+5 800(0<x≤5),则y=900x+16x+5 800≥900×2x×16x+5
800=13 000(元),
当且仅当x=16x,即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时,总造价最
低.
【训练3】 解 (1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100

元,固定成本为80n+1元,科技成本投入为100n万元.所以,年利润为f(n)=

(10+n)100-80n+1-100n(n∈N*).(2)由(1)知f(n)=(10+n)



100-
80

n
+1

-100n

=1 000-80n+1+9n+1≤520(万元).当且仅当n+1=9n+1,
即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.所以,从今年算起第8年利
润最高,最高利润为520万元.
【示例】.正解 ∵a>0,b>0,且a+b=1,

∴1a+2b=1a+2b(a+b)=1+2+ba+2ab≥3+2 ba·2ab=3+22.

当且仅当 a+b=1,ba=2ab,即 a=2-1,b=2-2时,1a+2b的最小值为3+22.
【试一试】尝试解答] a2+1ab+1aa-b=a2-ab+ab+1ab+1aa-b=
a(a-b)+1aa-b+ab+1ab≥2 aa-b·1aa-b+2 ab
·1ab=2

+2=4.当且仅当a(a-b)=1aa-b且ab=1ab,即a=2b时,等号成立.答案
D
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