1．若xy＞0，则对x
y＋
y
x说法正确的是()
A．有最大值－2B．有最小值2
C．无最大值和最小值D．无法确定
答案：B
2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是() A．400 B．100
C．40 D．20
答案：A
3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4
x有最小值____．
答案：2 4
4．已知f(x)＝12
x＋4x.
(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；
(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．
解：(1)∵x＞0，∴12
x
，4x＞0.
∴12 x ＋4x≥212
x·4x＝8 3.
当且仅当12
x
＝4x，即x＝3时取最小值83，∴当x＞0时，f(x)的最小值为8 3.
(2)∵x＜0，∴－x＞0.
则－f(x)＝12
－x ＋(－4x)≥212
－x·?－4x?＝83，
当且仅当12
－x
＝－4x时，即x＝－3时取等号．
∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8 3.
一、选择题
1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()
A．x＋1
2x B．x
2－1＋
1
x2－1
C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C
2．函数y＝3x2＋
6
x2＋1
的最小值是()
A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－3
解析：选D.y＝3(x2＋
2
x2＋1
)＝3(x2＋1＋
2
x2＋1
－1)≥3(22－1)＝62－3.
3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是() A．200 B．100
C．50 D．20
解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．4．给出下面四个推导过程：
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b
a＋
a
b≥2
b
a·
a
b＝2；
②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lg x＋lg y≥2lg x·lg y；
③∵a∈R，a≠0，∴4
a＋a≥2
4
a·a＝4；
④∵x，y∈R，，xy＜0，∴x
y＋
y
x＝－[(－
x
y)＋(－
y
x)]≤－2?－
x
y??－
y
x?＝－2.
其中正确的推导过程为()
A．①②B．②③C．③④D．①④解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．
①∵a，b∈(0，＋∞)，∴b
a ，a
b
∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推
导过程正确；
②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lg x是负数，y∈(0,1)时，lg y是负数，∴②的推导过程是错误的；
③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，
∴4 a ＋a≥24
a·a＝4是错误的；
④由xy＜0得x
y ，y
x
均为负数，但在推导过程中将全体x
y
＋y
x
提出负号后，(－x
y)均
变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．
5．已知a＞0，b＞0，则1
a＋
1
b＋2ab的最小值是()
A．2 B．2 2 C．4 D．5
解析：选 C.∵1
a
＋1
b
＋2ab≥2
ab
＋2ab≥22×2＝4.当且仅当
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＝b
ab＝1
时，
等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.
6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()
A．最大值64 B．最大值1 64
C．最小值64 D．最小值1 64
解析：选C.∵x、y均为正数，∴xy＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，当且仅当8x＝2y时等号成立．∴xy≥64.
二、填空题
7．函数y＝x＋
1
x＋1
(x≥0)的最小值为________．
答案：1
8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．
解析：1＝x＋4y≥2x·4y＝4xy，∴xy≤1 16.
答案：大1 16
9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x
3＋
y
4＝1，则xy的最大值为
________．
解析：∵x＞0，y＞0且1＝x
3
＋y
4≥2
xy
12
，∴xy≤3.
当且仅当x
3＝y
4
时取等号．
答案：3 三、解答题
10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋
4
x＋1
＋6的最小值；
(2)求函数y＝x2＋8
x－1
(x＞1)的最值．
解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝x＋4
x＋1＋6＝x＋1＋4
x＋1
＋5
≥2 ?x＋1?·4
x＋1
＋5＝9，
当且仅当x＋1＝4
x＋1
，即x＝1时，取等号．∴x＝1时，函数的最小值是9.
(2)y＝x2＋8
x－1
＝
x2－1＋9
x－1
＝(x＋1)＋9
x－1
＝(x －1)＋9x －1
＋2.∵x ＞1，∴x －1＞0. ∴(x －1)＋9x －1＋2≥2?x －1?·9x －1
＋2＝8. 当且仅当x －1＝9x －1
，即x ＝4时等号成立， ∴y 有最小值8.
11．已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)·(1b －1)·(1c
－1)≥8. 证明：∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a
， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c
， 以上三个不等式两边分别相乘得
(1a －1)(1b －1)(1c
－1)≥8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．
12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．
问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．
解：设污水处理池的长为x 米，则宽为200x
米． 总造价f (x )＝400×(2x ＋2×200x )＋100×200x ＋60×200 ＝800×(x ＋225x
)＋12000 ≥1600x ·225x
＋12000 ＝36000(元)
当且仅当x ＝225x
(x ＞0)， 即x ＝15时等号成立．。