r a=2r jq 题2-11E 2E 3E 题2-2图()004,,()400P ,,oYZ1r 2r r 1R 2R 18q C=q 题2-3图第二章 静电场 2-1．已知半径为r a =的导体球面上分布着面电荷密度为0cos S S ρρϑ=的电荷，式中的0S ρ为常数，试计算球面上的总电荷量。

解 取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。

由球面积分，得到()220cos sin S S S Q dS r d d p p=r =rq q q j òòòò220022000200cos sin cos sin sin20S S S r d d rd d a d p pp pp =rq q q j=r q q q j =r p q q =òòòòò2-2．两个无限大平面相距为d ，分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。

解 假设上板带正电荷，面密度为S r ；下板带负电，面密度为S -r 。

对于单一均匀带电无限大平面，根据书上例 2.2得到的推论，无限大带电平面的电场表达式为2SE r =e 对于两个相距为的d 无限大均匀带电平面，根据叠加原理 123000SE ,E ,E r ===e2-3．两点电荷18C q =和24C q =−，分别位于4z =和4y =处，求点(4,0,0)P 处的电场强度。

解 根据点电荷电场强度叠加原理，P 点的电场强度矢量为点S 1和S 1处点电荷在P 处产生的电场强度的矢量和，即()112233010244q q R R =+pe pe R R E r 式中11144x z ,R =-=-==R r r e e 22244x y ,R =-=-==R r r e e代入得到()()()()()330444844142x y x z x y z éù-êú-êú=-êúpe êúëûù=+-úûe e e e E r e e e 2-7．一个点电荷+q 位于（-a , 0, 0）处，另一点电荷-2q 位于（a , 0, 0）处，求电位等于零的面；空间有电场强度等于零的点吗？解 根据点电荷电位叠加原理，有120121()4q q u R R r πε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦式中()11y z x a y R =-=+++=R r r e e e()22y z x a y R =-=-++=R r r e e e代入得到()4q u r πε⎡⎤=电位为零，即令0()04q u r πε⎡⎤== 简化可得零电位面方程为()()2233330x a x a y z ++++=根据电位与电场强度的关系，有()()()()()()()()3322222222222222203322332222222()()2422x y z x yx a y z x a y z x a y z x a y z x a y u u u u xy z x a y z z q x a x a y y z z E r r e e e e e πε−−−−−−⎡⎤∂∂∂=−∇=−++⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎧⎛⎫⎪⎡⎤⎡⎤=−−++− ⎪⎨⎣⎦⎣⎦ ⎪⎪⎝⎭⎩⎛⎫⎡⎤⎡⎤+−+ ⎪⎣⎦⎣⎦ ⎪⎝⎭⎛⎫⎡⎤⎡⎤+−+ ⎣⎦⎣+++−+++++−+++++++⎦ ⎝−⎭z e ⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭要是电场强度为零，必有 000x y z E ,E ,E ===即()()()()()()()()332233222222222222222233222222202020x a x a y y z z x a y z x a y z x a y z x a y z x a y z x a y z −−−−−−+++−+++++−⎧⎡⎤⎡⎤+++++−+−++−=⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎡⎤−+=⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎡⎤−+=⎪⎣⎣⎩+⎦⎦此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。

2-8. 两无限长同轴圆柱导体，半径分别为a 和b ()a b <，内外导体间为空气，如题2-8所示。

设同轴圆柱导体的电荷均匀分布，其电荷面密度分别为1S ρ和2S ρ，求：（1）空间各处的电场强度；（2）两导体间的电压；（3）要使b ρ>区域内的电场强度等于零，则1S ρ和2S ρ应满足什么关系？解 根据内外导体表面的电荷分布，可判断出空间电场分布具有柱对称性。

在柱坐标中，作一长度为l ，半径为ρ的同轴圆柱形闭合高斯面S ，则在S 侧面上D 的大小处处相等，D 的方向均沿e ρ方向。

而在S 的两端面上，由于D 与端面方向垂直，故D 对两端面的通量贡献为零。

根据高斯定理，我们可以得到200()2D S e e ρρ lS d D d dz l D Qπρρρϕπρ⋅=⋅==⎰⎰⎰⎰其中Q 为高斯面S 内包围的总自由电荷。

（1）求空间各处的电场强度，分为三种情况①当0ρ<<a ，即内导体内部，此时0=Q ，故有000ρ=⇒=⇒D E D =u =u ar =题2-9图②当ρ<<a b ，此时12πρ=S Q al ，由高斯定理可得1()111022e e ρρπρπρρρρρρερ⋅===⇒=⇒=⇒=⎰⎰D S D E S S S S S d l D Q al a a a D ρρ③当ρ>b ，此时高斯面内的1222πρπρ=+S S Q al bl ，由高斯定理可得12()1212120222e e ρρπρπρπρρρρρρρρρερ⋅===++++⇒=⇒=⇒=⎰⎰D S D E S S S S S S S S S d l D Q al bl a b a b a b D ρρ（2）求两导体间的电压，由电位与电场强度之间的关系（此时电场强度须使用情况②时电场强度的值），可以得到1110001ln e e E l bbbS S S aaa a a ab U d d d a r r =⋅=⋅==e r e e òòòρρr r r r（3）要使ρ>b 区域内的电场强度为零，由上述情况③的结果可知，必须满足120ρρ+=S S a b2-9．电场中有一半径为a 的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为20,cos ,u a a u A aρρϕρρ=≤⎧⎪⎛⎫⎨=−≥ ⎪⎪⎝⎭⎩求：（1）圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是由什么材料构成的，表面有电荷吗？解 （1）根据电位与电场强度的关系式1z u u u u z E e e e ρϕρρϕ⎡⎤∂∂∂=−∇=−++⎢⎥∂∂∂⎣⎦得到22221cos 1si 0,n ,aa a A au A E E e e ρϕρϕϕρρρ≤⎛⎫⎛⎫+−≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝==−⎭=−∇+ （2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。

有根据电位边界条件 1212S u un nεερ∂∂−=−∂∂0xdρ0题2-11图而0,2cos ,aau au A aρρρρϕρρ==⎧∂=≤⎪∂⎪⎨∂⎪=≥⎪∂⎩所以02cos S A uϕρεερ∂=−=−∂ 2-11．两无限大平行板电极，距离为d ，电位分别为0和U 0，两板间充满电荷密度为0/x d ρ的介质，如图所示。

求两极板间的电位分布和极板上的电荷密度。

解 由于两无限大平板间存在电荷密度分布，电位函数满足泊松方程。

又平板沿Y 和Z 方向无穷大，电位分布与x 和z 无关，因此，有02200V x d d udxρερε=−=−且满足边界条件000x x d u u U ==⎧=⎪⎨=⎪⎩ 求解二阶常微分方程，得到 3012016u x c x c d r =-++e 应用边界条件，有2000010006x x d u ,c U d u U ,c d ==ì==ïïïr í==+ïïe ïïî所以300000166U d u x x d dæör r ÷ç÷=-++ç÷ç÷e e èø 根据电位满足的边界条件 1212S u un nεερ∂∂−=−∂∂ 可得在下极板上表面的电荷密度分布为r20V e ρρρ−=ld r题2-15图12120S x u u x x ρεε=∂∂⎛⎫=−− ⎪∂∂⎝⎭下 下极板导体中的电位为零，有 20u x∂=∂ 代入，得到02000001000662S x x U Uu x xd d dd d ρεερρρε==∂⎛⎫⎛⎫=−=−+=−+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭下 对于上极板，导体中的电位为常数 10u U = 有10u x∂=∂ 上极板下表面电荷密度为2000003S x dx dU ddu u xxρεεερ==∂∂=∂−==∂上2-15．空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为20V e ρρρ−=（C/m 3），应用高斯定理求电通密度D 。

解 根据题意知，电荷密度分布与φ、z 无关，因此场分布具有柱对称性，电通密度矢量D 仅有e ρ分量，由高斯定理()()VS V d dV D S ρ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰取圆柱面为高斯面，有2200020ed d ld l D ρρππρρρϕρρϕ−=⎰⎰⎰()200224022202el l d D d l e ρπρρρρρρϕπρπρρ−−=⎡⎤=−++⎣⎦⎰⎰()220222eD ρρρρρ−⎡⎤−++⎣⎦=2-17．在真空中放置一无限长线电荷密度为ρl 的细金属棒，证明在径向距离上的两点ρ1、ρ2之间的电位差为题2-17 201ln 2lU περ=⎪⎝⎭。

解 首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电场。

由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等，根据高斯定理，有2l(S )d D l l ⋅=pr =r òòD S 由此得到电通密度矢量2lr r =prD e 而电场强度为 02lr r =pe rΕe 根据电位的定义，在径向选择一点0r 为参考点，则有00212121122001ln 22l l U u u d d d d r r r r r r r r r r =-=⋅-⋅=⋅r r r=⋅r =pe r pe r òòòòE l E l E le e2-22. 如题2-22所示，三层厚度相同的电介质板具有不同的介电常数。