圆锥曲线的离心率问题的求解
离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线形状的重要参数．
椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据；
双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据；
而抛物线的离心率是特征值1.
圆锥曲线的统一定义是按离心率的范围不同，确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型.
求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e 有关的等式或不等关系.在此,要活用圆锥曲线的特征三角形.常用方法:
１.利用曲线定义。
圆锥曲线的统一定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题．
２.利用曲线变量范围。
圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题．
３.利用直线与曲线的位置关系。
根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题．
４.利用点与曲线的位置关系。
根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径．
5.联立方程组。
如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解．
6.三角函数的有界性。
用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解．
7.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解
8.构造关于e 的方程求解.
9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。
因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。
圆锥曲线的离心率练习题
1、已知椭圆的方程22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆上的一点 若12PF PF =，求椭圆离心率的取值范围。
2、已知椭圆的方程22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一点 若123F PF π
∠=，求椭圆离心率的取值范围。
3、设1a >，求双曲线22
22
1(1)x y a a -=+离心率的取值范围。
4、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>左右两个焦点F 1，F 2，P 是双曲线的任一点 若122PF PF =，求双曲线离心率的取值范围。
5、已知F 1,F 2是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 是椭圆上的一点 若满足120MF MF ⋅=的点总在椭圆的内部，求椭圆离心率的取值范围。
6、已知斜率为2的直线l 经过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F ，并与双曲线的左右支分别相交，求双曲线离心率e 的范围。
7、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，P 是椭圆的任一点 若122F PF π
∠≤，求椭圆离心率的取值范围。
8、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，F 1,F 2是椭圆左右两个焦点，以F 1F 2 为边做正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，求椭圆离心率。
9、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，A 是左顶点F 是椭圆右焦点，B 是短轴的一个顶点，2ABF π
∠=，求椭圆离心率。
10、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>过左焦点F 1且倾斜角为60的直线l 交椭圆于A,B 两点，若112F A BF =，求椭圆离心率e 。
11、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12215PF F PF F ∠=∠，求椭圆离心率e 。
12、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),P 是椭圆上的一点，且1260F PF ∠=，求椭圆离心率的取值范围。
13、椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，斜率为1，且过椭圆右焦点F 直线交椭圆于A,B 两点，OA OB +与(3,1)a =共线，求椭圆离心率e 。
14、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点为F 1(-c,0),F 2(c,0),P 是直线2
:a l x c =上的一点，1F P 的垂直平分线恰过2F 点，求椭圆离心率的取值范围。
16、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2， 焦点到直线2
:a l x c
=的距离为2，求椭圆离心率 . 17、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的
垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，求椭圆离心率
18、 以双曲线的两个焦点连线段为边作等边三角形,若双曲线恰好
平分三角形的另两边, 求双曲线离心率。
.
19、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有
一个交点，求双曲线离心率的取值范围。
20、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线的夹角为60°， 求双曲线离心率。
21、过标准双曲线的右焦点作其在第一三象限的渐近线的
垂线，垂足为P ，若此垂线与双曲线的左右两支个交于一点，
求双曲线离心率的取值范围。
.
22、过标准型双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线
与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的
右顶点，求双曲线离心率。
23、设标准型双曲线的右焦点为F，直线
2
:
a
l x
c
=与两条渐近线交于
P、Q两点，如果ΔPQF是直角三角形，求双曲线离心率。
.
24、双曲线的离心率为2,则双曲线渐近线的夹角为. 若双曲线渐近线的夹角为60°, 求双曲线离心率。
25、、已知A、B是椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>长轴的两个端点，如果椭圆上存在一点Q，
使∠AQB=120°，求椭圆离心率的取值范围。
26、椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若存在过椭圆左焦点的直线L交椭圆于P、Q两点，使得OP⊥OQ，则椭圆离心率的取值范围为。
27、已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>和圆x2+y2=(b2+c)2(c为椭圆的焦半径)有四个不同的交
点,求椭圆的离心率的取值范围.
28、如图, 椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>上有点(x1,y1),使得∠OPA=90°, 求椭圆的离心率的
取值范围.
29、已知斜率为k的直线L经过椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的右焦点F并与椭圆交于A、
B两点，与y轴交于C点，B为CF的中点，若|k|≤255求椭圆离心率e的范围。
30、已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>与直线x+y+1=0相交于P、Q两点，满足OP⊥OQ,且
椭圆的离心率满足
33≤e≤22, 求椭圆长轴的取值范围。
31、椭圆
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45o的直线与椭圆交
于A、B两点且F分BA的比为2
3
，求椭圆的离心率e。