椭圆练习题一、选择题1.椭圆2x m +24y =1的焦距为2，则m 的值为（ ）A .5B .3C .5或3D .82.设椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 的离心率为e=12,右焦点为F （c ,0)，方程ax 2+bx -c =0的两个实根分别为x 1和x 2,则点P （x 1,x 2)（ ）A .必在圆x 2+y 2=2内B .必在圆x 2+y 2=2上C .必在圆x 2+y 2=2外D .以上三种情形都有可能3．在椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上取三点，其横坐标满足1322x x x +=，三点与某一焦点的连线段长分别为123,,r r r ，则123,,r r r 满足（ ）A ．123,,r r r 成等差数列B ． 123112r r r +=C ．123,,r r r 成等比数列D ．以上结论全不对4．椭圆22 1 4x y m+=的离心率e 满足方程22520x x -+=，则m 的所有可能值的积为（ ）A ．3B ．316C ．16D ．-16 5．已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则acb +的取值范围是 ( )A (1, +∞)B ),2(∞+C )2,1( D ]2,1(6. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ）A ． 32 B. 22 C. 21 D. 32 7.过原点的直线l 与曲线C:1322=+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( )A 656παπ≤≤B 326παπ<<C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 8.椭圆)10(,2222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为( )A 10<<a B122<<a C 122<≤a D.220<<a 9. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 ( ) A213- B 215- C 215- D 2310、已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线340x y ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 二、填空题11．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m ＝ .12．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是 .13、F 1，F 2是x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则1PF ·2PF 的最大值是14、在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆192522=+y x 上，则sin sin sin A CB+= . 15.中心在原点,一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程是 。

16.已知F 1、F 2是椭圆C ：2222x y a b+ =1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且1PF⊥2PF .若△PF 1F 2的面积为9，则b = .17．椭圆29x +22y=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上.若|PF 1|=4，则|PF 2|= ，∠F 1PF 2的大小为 .18．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最短距离为3，则该椭圆的方程为 .19．M 是椭圆221 94x y +=不在坐标轴上的点，12,F F 是它的两个焦点，I 是12MF F ∆的内心，MI 的延长线交12F F 于N ，则MINI= . 20.已知21,F F 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1::211221=∠∠∠PF F F PF F PF , 则此椭圆的离心率为 . 三、解答题21.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,直线4=y 是椭圆的一条准线.① 求椭圆的方程;② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.简解:①134,2,4,1222=+∴=∴==x y a c a c .②设n PF m PF ==21,则⎩⎨⎧=-=+14n m n m ⎪⎩⎪⎨⎧==+∴15421722mn n m 又 2122cos 24PF F mn n m ∠-+=53cos 21=∠∴FP P ,22.设椭圆2222x y a b=1(a >b >0)的左焦点F 1（-2，0），左准线l 1与x 轴交于点N （-3，0），过N 点且倾斜角为30°的直线l 交椭圆于A 、B 两点. （1）求直线l 和椭圆方程； （2）求1F A ·1F B 的值；（3）在直线l 上有两个不重合的动点C 、D ，以CD 为直径且过F 1的所有圆中，求面积最小的圆的半径.解：（1）由已知，椭圆中c =2, 2a c=3,∴a 2=6,b 2=a 2-c 2=6-4=2,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),=-9+2+7=0.（3）易知：当圆的半径等于F1到直线l的距离时，圆的面积最小.即面积最小时，x+y2=1交于A、B两点，记△AOB 23.如图，直线y=kx+b与椭圆24的面积为S.（1）求在k=0,0<b<1的条件下，S的最大值；（2）当|AB|=2，S=1时，求直线AB的方程.解析：24、已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意633c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x⊥轴时，AB=．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y kx m=+．2=，得223(1)4m k=+．把y kx m=+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m+++-=，122631kmx xk-∴+=+，21223(1)31mx xk-=+．22221(1)()AB k x x∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m mkk k⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k kk k++-++==++2422212121233(0)34196123696kkk k kk=+=+≠+= ++⨯+++≤．当且仅当2219kk=，即k=时等号成立．当0k=时，AB=综上所述max2AB=．∴当AB最大时，AOB△面积取最大值max 1222S AB =⨯⨯=25、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b ===221.43x y∴+=(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-，1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 2271640m mk k ++=，解得1222,7km k m =-=-，且满足22340km +->.当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7课外作业：1.已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R)(1)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；(2)设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线。

2．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率36=e ，原点O 到过点),0(b A -和)0,(a B 的直线的距离为23．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点E )0,1(-，若直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过点E ?请说明理由．3.设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点为F ，离心率为33, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为334 （1）求椭圆的方程；（2）设B A ,分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于D C ,两点，若 8=⋅+⋅CB AD DB AC ， 求k 的值.1.已知曲线C:(5-m)x 2+(m-2)y 2=8(m ∈R)(1)若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；(2)设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y=kx+4与曲线c 交于不同的两点M 、N,直线y=1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线。