l
m x) 并从 0到l对x进行积分， 将上式两边同乘以 sin( l
得：
整理后得到：
l j m ( j m) 0 sin( l x)sin( l x)dx 2 0( j m)
l
d 2 H m (t ) 2 m H m (t ) Qm (t ) 2 dt
§4.2 杆的纵向振动
u( x, t ) u( x, t ) dx u( x, t ) dx u( x, t ) x dx dx x
u ( x, t ) N EA( x) EA( x) x
j Y j ( x) Aj sin x Aj sin x c l
cj j j l l j
强迫振动 对于长为 l 的两端固定受分布力 q( x, t ) 作用下的弦的强迫振动，其运动微分方程为： 振型函数 Y ( x) Aj sin j x l 令 Aj 1 j 则有 Y ( x) sin x l 设其解为 y ( x, t ) sin( j x) H (t ) j
y ( x, t ) ( x, t ) tg x
根据牛顿第二定律， y 方向的运动微分方程为： 弦的单元微段 ds 沿 2 y ( x, t ) ( x, t ) Adx T dx q( x, t )dx 2
代入
得：
2 y( x, t ) 2 y ( x, t ) A T q( x, t ) 2 2 t x
弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频 率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最 大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型
Y ( x) 为振型函数 2 y ( x, t )
t 2 2 2 y ( x, t ) d Y ( x) sin( t ) n 2 2 dx x
第四章 连续体的振动
本章只讨论理想弹性体的振动 理想弹塑性体满足以下假设条件 ①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律
§4.1 弦的振动
讨论两端受到张力T 拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力
q( x, t )的作用
q( x, t )
x x
y
dx
dm Ads
设弦的密度为 （质量/单位体积） 假设小变形，弦力不随挠度变化。 则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即
个初始条件来确定。
A, B, n , 4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两
y(0, t ) 0 y(l , t ) 0 由于两端固定，故有
0 ( A sin
l
0 (0 B)sin(nt ) n n
c l B cos cos c
l ) sin(nt )
x y ( x, t ) ( x, t ) x
t
T 设 c 代入得： A 2 2 y( x, t ) y( x, t ) 1 2 c q( x, t ) 2 2 t x A
C为波沿长度方向的传播速度
如无干扰力作用时， 2 2 y ( x, t ) y ( x, t ) 2 ——称为波动方程 c 2 2 t x y( x,t ) Y ( x)H (t ) Y ( x) sin(nt )
y y( x, t )
dm Ads A (dx) 2 (dy ) 2 Adx
沿 y 方向作用在微小区间 [ x, x dx] 的外力之和为
( x, t ) T [ ( x, t ) dx] T ( x, t ) q( x, t ) dx x ( x, t ) T dx q ( x, t )dx x
2 n Y ( x)sin(nt )
2 d 得 2Y ( x)sin( t ) c 2 Y ( x) sin( t ) n n n 2 dx 2 2 d Y ( x ) n 故 Y ( x) 0 2 2 dx c n n Y ( x) A sin x B cos x c c n n y ( x, t ) ( A sin x B cos x) sin(nt ) c c
得 得
B0
A sin
n
c
l 0
A0 则
T A
n
c
sin
n
c
l 0
l j
( j 1, 2 )
j y( x, t ) Aj sin x sin( j t j ) l j 1

j y j ( x, t ) Aj sin x sin( j j ) l

2 2 y( x, t ) y( x, t ) 1 2 c q( x, t ) 2 2 t x A
j y( x, t ) sin( x)H j (t ) 代入方程 l j 1 2 2 d H ( t ) j j j 1 j 2 sin( x ) c ( ) sin( x ) H ( t ) q( x, t ) j 2 l dt l l A j 1 j 1
2 l m Qm (t ) q( x, t )sin xdx 0 Al l
cm l
2 m
其通解为：
H m (t ) Cm cos mt Dm sin mt
1
m
Q
0
l
m
( )sin m (t )d
m 1, 2
§4.2 杆的纵向振动
设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去 杆纵向伸缩而引起的横截面变形。 取杆的纵向作为 x 轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)， 如图所示。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。 设杆单位体积的质量为ρ ，杆长为 l，截面积为A ， 材料的弹性模量为E 。再设任一 x 截面处，纵向应变为ε(x) ， 纵向拉力表示为N(x)