连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2u t 2

a0 2
2u x2
u(x,t) (x)q(t)
q(t) a sin(t )
(x)

c1
sin
x
a0

c2
cos
x
a0
i
一一对应
i (x)
第 i 阶主振动：
u(i) (x, t) aφi i (x) sin(it i ),
p( x, t )
0 x dx l
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
由达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2

(F

F x
dx) F

p(x,t)dx
代入，得：
S
2u t 2

x
(ES
u ) x

p(x,t)
模态函数
(l) 0 (0) 0
cos l 0
a0
i

i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
i (x)

ci
sin(
i
2l
x),
i 1,3,5,...
*例：
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
一均质杆，左端固
定，右端与一弹簧 0
连接。
l
推导系统的频率方程。
kx
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
解：
边界条件：
0
u(0,t) 0 ku(l,t) ES u (l,t)
l
x
(0) 0
k(l) ES (l,t)
x
得出： c2 0
l
l
k sin ES cos
a0
a0
a0
kx
tg(l / a0 ) ES 常数
l / a0
kl
频率方程
(x)

c1
sin
x
a0

c2
cos
x
a0
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
（2）两端自由
0
x
特征：自由端的轴向力为零
l
边界条件 ： ES u(0,t) 0 ES u(l,t) 0
x
x
得： (0) 0
(l) 0
得出： c1 0
cos l 0
a0
固有频率： 模态函数：

p(x,t)dx
并考虑到： y
x
得：
2 y t 2

a0 2
2 y x 2

1

p(x,t)
a0 弹性横波的纵向传播速度
弦的横向强迫振动方程
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）轴的扭转振动
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p( x, t )
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Ip
S
2u t 2

x
(ES
u ) x
u(x,t) (x)a sin(t )
代入，得 ： (ES ) 2 S
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
(ES ) 2 S
杆的简单边界 ： 固定端 (x) 0 自由端 ES(x) 0
达朗贝尔原理：
I
p
dx
2
t 2
(T

T x
dx) T

pdx
0
x
即：
I p
2
t 2

T x

p( x, t )
材料力学：
T

GI p

x
代入，得： I p
2
t 2

x (GI p
)
x
p( x, t )
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
对于等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
振型函数： i (x)

ci
sin

a0
x
u(x,t) (x)q(t)
(x)

c1
sin
x
a0

c2
cos
x
a0
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
例：
一均质杆，左端固
定，右端与一集中 0
质量M固结。
l
推导系统的频率方程。
x
M
边界条件：
u(0,t) 0
M
2u t 2
(l , t )
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
微段应变：


(u

u x
dx)

u

u
dx
x
Sdx
2u x 2
横截面上的内力： F ES ES u
x
由达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2
(F F dx) F p(x,t)dx x
连续系统的振动 / 一维波动方程
(i 1,2)
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：

u(x, t) ai i sin(it i ) i 1
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定
0
特征：两端位移为零
x
l
边界条件： u(0,t) (0)q(t) 0 u(l,t) (l)q(t) 0
（2）材料均匀连续；各向同性。 （3）振动满足微振动的前提 。
连续系统的振动 / 一维波动方程
一维波动方程
• 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
(x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
代入，得：
q(t) q(t)

a02
( x) (x)


连续系统的振动 / 杆的纵向振动
q(t) q(t)

a02
'' (x) (x)


记： 2
q(t) 2q(t) 0


(
x)

(

a0
)2

(
x)

0
通解： q(t) a sin(t )

(
x)

c1
sin
x
a0

c2
cos
x
a0
c1, c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 有i 无穷多个 （下面讲述）

1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动
2 y t 2

a0 2
2 y x 2

1

p(x,t)
（3）轴的扭转振动
2
t 2
a02
2
x2

1
I p
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程 。
连续系统的振动 / 杆的纵向振动

ES
u x
(l , t )
自己推导！
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
主振型的正交性
只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性
杆可以是变截面或匀截面的
即质量密度 及截面积 S 等都可以是 x 的函数
杆的动力方程 ：
S
2u t 2

x
(ES
u ) x
p( x, t )
自由振动： 主振动 ：
材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
T
T
T dx x
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时 刻 t 的角位移
I
p
dx
2
t 2
截面处的扭矩为 T
I pdx ：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动 / 一维波动方程
q(t)不能恒为零 故： (0) 0 (l) 0
代入模态函数 得： 无穷多个固有频率：
c2 0 sin
i

ia0
l
,
l 0（杆的纵向振动频率方程 ）
a0
(i 0,1,2,)
模态函数 ：
i
(x)

ci
sin
ix
l
(i 0,1,2,)
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
sin
x
a0

c2
cos
x
a0
u(x,t) (x)q(t)
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
x
x
0
0
l
l
(0) 0 (l) 0
边界条件
cos l 0
a0
频率方程
i

i 2
a
l
,
i 1,3,5,...
固有频率
i (x)

ci
sin(
i
2l