车灯线光源的优化设计摘要题目要求我们针对确定的设计规范，计算线光源的长度，然后再根据线光源的长度讨论该设计规范是否合理。

针对题目的任务，我们采用物理光学的知识和数学极限思想建立模型，根据题目的要求对线光源反射在屏幕上的光照强度进行了研究，并按照要求完成了线光源的优化设计。

对于问题一，采用了对线光源无限分割成线元的点光源的极限思想，并求出每个点光源经抛物面反射后照在测试屏幕上的光照强度，在B ,C 两点利用区域法将圆区域的光照强度的和代替点的光照强度，再根据B ，C 光照强度的关系，最后求得：l =4mm对于问题二，在问题一的基础上可以利用matlab 将带坐标的亮区绘出来，（结果见图5，第7页）对于问题三，夜晚行车司机在看清障碍物时，从反应到到制动停止的距离为h ，其取值范围是：23.6926.69m h m ≤≤取26.69h m =>25m ,所以我们希望设计规范能够将25m 提高到30m 以外，提高司机的人身安全，同时考虑强度问题，为了确保在在30m 外能够辨出障碍物，屏幕上相应的B 和C 点的距离也要相应提高，并且线光源的长度也要适当增长，以确保有足够的强度。

（具体长度呢？）关键词：数学无限分割极限思想 光照度平方反比定理 光照强度一、问题的重述1.1问题背景安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36mm，深度21.6mm。

经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。

要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

1.2目标任务该设计规范在简化后可描述如下。

在焦点F正前方25m处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。

在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6m。

要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

解决如下问题：（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

二、问题分析该问题属于物理学中的光学问题，对于线光源发射出来的光为无数条，我们无法运用整体思想进行建立模型。

对于问题一，我们运用无限分割成微元的极限思想，将线光源分成无限n （n=1,2,3…）份线元，然后计算出每份线元经过车灯抛物面反射后射在测光屏上的光照强度E，进而可以对光照强度在,B C两点的极小区域进行求和，最后n要使线光源的发光功率最小，尽量满足B点处的光照强度接近C点处的两倍，由光照强度，功率与线光源之间个光线可以求出线光源的最小长度。

对于问题二，在问题一的基础上，在计算线元的光照强度时模拟光线的反射可得到反射光的亮区图。

对于问题三，结合实际与计算结果，以夜间行车的安全性讨论设计规范的合理性。

最后由模型和结果对该规范的合理性进行讨论修改。

三、基本假设1.假设光线在经过抛物面反射所造成能量损失忽略不计，只考虑光线随距离的变化而产生的能量损失。

2.假设抛物面光滑，无凹凸不平，对光线无额外的作用，除了正常的反射。

3.由于要测试的,B C两点离屏幕A点距离远远大于旋转抛物面的最大口径故忽略线光源对测光屏幕直射的光照强度，只考虑反射对测光屏幕光照强度的影响。

4.假设车灯发光均匀，光强均匀。

5.假设每份光线元经抛物面反射后，光强度为1个单位。

四、符号说明五．模型的建立与求解5.1问题一对于问题一，要求在满足该设计规范的条件下，计算线光源的长度，使线光源的功率最小。

5.1.2模型的建立首先以抛物面顶点为原心o，以抛物面的旋转中心轴为y轴，竖直向上为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1：图1 建立的坐标图由题目所给的数据，抛物面开口半径为36mm ，深度为21.6mm ，我们根据抛物线旋转的知识求得抛物面方程：2260x z y += (1)设定线光源上任意一点p 坐标为（,15,0a ），a 的值取决于点的位置。

同时已知了FA =25m ，2 2.6AC AB ==m 。

则可以写出(1300,25015B ，(2600,25015,0)C 。

当线光源上点光源P 发出的光经抛物面上(,,)D D D D x y z 反射后，照射到测屏试幕上的s 点，由空间几何知识，旋转抛物面在D 处的切平面的法向量为(,30,)D D n x z =- 。

如图2：图2 点光源发出光线反射在屏幕上图图3 入射光线与反射光线向量图根据物理学中光的反射定律可知，光的入射角等于反射角，且入射光线和反射光线同在反射平面一侧且分居法线两边。

则向量PD 与向量n 的夹角和n 与SD 的夹角相等，可知： 22()PD n SD n PD n=+ （2）由（2）式可求得发射光线的SD 的方向向量为SD =(,,)i j k ，则反射光线的方程为：D D D x x y y z z i j k---== （3） 同时测试屏幕平面的方程为：25015y = （4）则运用matlab 软件编程可求出反射光线与测试屏幕的交点(,,)S S S S x y z 。

算出S 点的坐标，可以求得光线从点光源射出到照射到测试屏幕所经过的路程： 1212,,PD R SD R R R R ===+ (5)由光照度平方反比定理得光照度与点光源的发光强度I 成正比，与点光源到面的距离r 的平方成反比，并与面的法线与入射光线夹角余弦成正弦： 2cos I E r β= （6） 由于在车灯抛物面中的法线与入射角的夹角较小，近似为0，且我们已假设点光源P 射出的光线元的光强度为I =1，经过反射后达到S 点的照度为： 21(1,2,3...)n E n R== （7） 因为线光源的材质是均匀的，且单位长度发出的功率为一定值，故我们知道 必定存在：p kl = （8）其中k 与材质有关，为一常数。

要使功率最小，长度必须最小，但是必须符合反射光照到屏幕C 点和B 点光照强度近似两倍的关系：2C B E E = （9）5.1.3模型的求解 （建议求解的过程按算法步骤形式写，更具有可读性。

）实际中，我们很难测出一条光线正好就照到屏幕的某个点的光照强度，因此我们采取小区域加和在此区域所有光线的光照强度的方法,B C 两点进行处理，首先分别以,B C 两点为圆心取一个半径极小的圆，半径为30mm ，相对于1.3m 。

圆也足够小，满足计算精度，然后将射在圆上的线元的光照度进行叠加，根据B 点的光照度近似是C 点的两倍，运用matlab 软件对整个模型过程进行编程求解：l =4mm这时,B C 两点的光照强度之比为1.96，近似为2。

5.2问题二对于问题二，要求在第一问求得线光源强度的情况下，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

5.2.1问题二的求解在无限n 线元的叠加中，在测光屏幕的上显示的亮区是由无数个点构成的点集，在模型求解的过程取的n 越大,点集就越密且呈对称状。

n 可以取无限大，但是在实际运算操作中我们不可能无限的取值。

n 值取得越大，算出的结果精度也会较高，误差也会较小。

由matlab 软件绘制出的测试屏幕上反射光亮区图：图4 对称一侧的亮区图图5 整个屏幕上的亮区图图4与图5，取的n 不同，所以密度也不一样。

通过比较可知，n 值取得越大，算出的结果精度也会较高，误差也会较小。

5.3问题三对于问题三，是关于该设计规范的合理性问题，讨论该设计规范的是否合理。

5.3.1合理性问题的讨论在实际情况下，夜间汽车行车车速一般在40/km h -60/km h 之间，我们就假定为60/km h ，换算后为16.7/m s 。

经过查询资料可以知道人的平均反应时间0.7s ，则由物理运动学公式：11h v t =⨯算出经过反应时间车所走过的路程为1h =11.69m 。

查询资料后我们掌握了市面上一般汽车在行车速度为60/km h 的制动距离：21215m h m ≤≤所以车在反应时间和制动时间内走过的总路程：12h h h =+则23.6926.69m h m ≤≤。

我们按照最坏的情况来考虑，在夜间行车，司机如果在障碍物面前25米开始反应0.7m 后在按最大的制动距离15m 进行汽车制动，此时将会发生危险事故，如果设计规则能够把距离提高到30m 以上，相对较远的距离对司机来说有足够的反应时间可以较大程度地保障司机的人身安全。

所以我们认为如果将设计规范中的距离能再提高到30m 以上会更为合理。

此外，我们也要考虑光照强度问题，市面上一般小轿车车身宽度为1.7m ，则取B 点距离为1.3m ，由于车灯是两边对称，光照强度在车正前方叠加，而车旁C 点相对较弱，这也保证了有足够的亮度能让前方的障碍物反射，让司机察觉，而且中间较亮也能让司机集中精力行车，假如两旁较亮中间较暗将会出现安全事故。

但是随着我们提高设计规范中的距离，B 点和C 点的与A 点距离也要相应提高。

六、模型的评价与改进优点：模型大部分是我们自主建立的。

我们采用了数学的有限元分析与光学知识结合能够很好的解决线光源的优化设计的问题。

在分析线光源发出的光线反射至屏幕时，我们的模型能够较为全面地解决不同点光源发出光线汇聚在同一区域内的光照强度问题。

缺点：由于时间和硬件方面的限制，我们对计算的精度不能再精确，这也会对结果产生一定的误差。

在对n 线元取值时，也存在比较大的主观性。

这也可能降低模型的精度。

改进：在建立模型的过程中，我们可以找出线光源的发光强度I 与光源的发光功率p 之间关系，再找出屏幕上的点的光照强度E 与发光功率p 之间的关系，最后综合线光源长度l 与功率的关系p 建立更加全面完整精确的模型。

七、参考文献[1] 姜启源，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.[2] 陈光亭，裘哲勇，数学建模，北京：高等教育出版社，2010.[3] 陈建州，实用数学建模教程，武汉理工大学出版社，2003.[4]陈敬胜，何集文，叶海康，汽车刹车距离http://view/90406616650,2012年8月1日.[5]卓小巧，多曲面反射器的车灯配光技术研究及可视化，浙江工业大学硕士论文，2003.[6]苏金明，阮沈勇，Matlab6.1实用指南，北京：电子工业出版社，2002.[7]李胡锡，Matlab循序渐进，上海：上海交通大学出版社，1997.[8]王家文，Matlab7.0图像图形处理，北京：国防工业出版社，2006.八、附录附录：求解模型中线光源长度的matlab程序：function a2002clc,clear;alpha=[0*pi/180:6*pi/180:360*pi/180];l=length(alpha);%%%y=[0:0.4:21.6];a=[-2:0.2:2];al=length(a);m=length(y);%%%E1=0;E2=0;p_final=[];P_final=[];for aa=1:alfor ii=1:lr=sqrt(60.*y);x=sin(alpha(ii)).*r;z=cos(alpha(ii)).*r;s1=[x-a(aa);y-15;z];s=[x;-30*ones(1,m);z];for i=1:mss(i)=sqrt(s(1,i)^2+s(2,i)^2+s(3,i)^2);ss1(i)=sqrt(s1(1,i)^2+s1(2,i)^2+s1(3,i)^2);endtheta=acos(sum(s1.*s)./(sqrt((ss).^2).*sqrt((ss1).^2))); for i=1:ms2(:,i)=-2*dot(s(:,i),s1(:,i))/dot(s(:,i),s(:,i))*s(:,i)+s1(:,i);%很重要！！！！！！endpoint(2,:)=25015-y;point_test(2,:)=21.6-y;point(1,:)=(point(2,:)-y)./s2(2,:).*s2(1,:)+x;point(3,:)=(point(2,:)-y)./s2(2,:).*s2(3,:)+z;point_test(1,:)=(point_test(2,:)-y)./s2(2,:).*s2(1,:)+x; point_test(3,:)=(point_test(2,:)-y)./s2(2,:).*s2(3,:)+z; for i=1:m;if sqrt(point_test(1,i)^2+point_test(3,i)^2)>36point(1,i)=0;point(3,i)=0;endendfor i=1:m;if sqrt((point(1,i)-1300)^2+point(3,i)^2)<=30r1=sqrt((x(i)-a(aa))^2+(y(i)-15)^2+z(i)^2);r2=sqrt((x(i)-point(1,i))^2+(y(i)-point(2,i))^2+(z(i)-point(3,i))^2);E1=E1+1./(r1+r2).^2;elseif sqrt((point(1,i)-2600)^2+point(3,i)^2)<=30r1=sqrt((x(i)-a(aa))^2+(y(i)-15)^2+z(i)^2);r2=sqrt((x(i)-point(1,i))^2+(y(i)-point(2,i))^2+(z(i)-point(3,i))^2);E2=E2+1./(r1+r2).^2;endendp_final=[p_final,[point(1,:);point(3,:)]];endP_final=[P_final,p_final];endE1/E2plot(P_final(1,:),P_final(2,:),'.');。