指数式和对数式比较大
小
Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
指数式和对数式比较大小五法
方法一：利用函数单调性
同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较.
核心解读：
1.比较形如m a 与n a 的大小,利用指数函数x
y a =的单调性.
2.比较形如log a m 与log a n 的大小,利用对数函数log a y x =的单调性.
3.比较形如m a 与m b 的大小,利用幂函数m y x =的单调性.
例1：比较下列各组数的大小 （1）0.30.3,30.3
（2）2log 0.8,2log 8.8
（3）0.30.3,0.33
[解]（1）利用函数0.3x y =的单调性.
因为函数0.3x y =在R 上单调递减,<3,所以0.30.3>30.3.
（2）利用函数2log y x =的单调性.
因为函数2log y x =在(0,)+∞单调递增,<,所以2log 0.8<2log 8.8.
（3）利用函数0.3y x
=的单调性. 因为函数0.3y x =在(0,)+∞单调递增,<3,所以0.30.3<0.33.
方法二：中间桥梁法
既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.
（1）比较形如m a 与n b 的大小,一般找一个“中间值c ”,若m a c <且m c b <,则m n a b <；若m a c >且n c b >,则m n a b >.常用到的特殊值有0和1.(0log 1a =，1log a a =，01a =)
（2）比较形如m a 与n b 的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即n a 或者m b ,进而利用中间值解决问题.
例2：比较下列各组数的大小
（1）0.41.9, 2.40.9
（2）124()5,139()10
[解]（1）取中间值1.
因为0.4
01.9
1.91>=,
2.400.90.91<=,所以0.4 2.41.90.9>.
（2）取中间值1
29()10
. 利用函数910
x y =（）的单调性比较139()10和129()10的大小,易知139()10>129()10.利用函数12y x =单调性比较124()5和129()10的大小,易知124()5<129()10.所以139()10>1
24()5. （补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.）
方法三：特值代入法
对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.
例3：（2008年全国卷理4文5）若1
(,1)x e -∈,ln a x =,2ln b x =,3ln c x =,则（）.
A.a<b<<a<<a<<a<c [解]在区间1(,1)e -上取1
2x e -=,通过计算知：
1
21ln 2a e -==-,122ln 1b e -==-,313211ln ()28
c e -==-=-,故b<a<c,选C. 方法四：估值计算法
估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.
例4：（2007年全国卷理4文4）下列四个数中最大的是（）.
2(ln 2)ln(ln
2)ln ln 2解]因为lg 20.3010ln 20.7lg 0.4343
e =
≈≈, 所以2(ln 2)0.49≈,ln(ln 2)ln 0.70≈<
,1ln 20.352=≈,故四个数中最大的是ln 2,选D.
[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.
方法五：数形结合法
画出指数函数、对数函数和幂函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法. 例5：（2009年全国卷理7）设3log a π=
,2log b =
3log c =则（）.
A.a>b>>c>>a>>c>a
[解]在同一直角坐标系内画出对数函数3log y x =和2log y x =的图像,如下图所示： 由图像观察得a>b>c,故选A.
[点评]本题也可以利用比较法求解.
因为32
2log log log <<所以b>c,
因为2233log log 21log 3log π<==<,所以a>b,所以a>b.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。