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北大数学分析实数理论参考资料

实数理论§1.1 从自然数到有理数实数是在有理数基础上定义的,有理数又是在整数的基础上定义的,而整数又是在自然数的基础上定义的,那么自然数如何定义呢?有两个集合A 和B ,我们称它们为等价的,如果存在一个从A 到B 的映射,它是的,又是满的.这时我们说f 11−A 和B 具有相同的势.我们首先承认空集φ是存在的,考虑一个集合}{φ,它不是空集,凡与}{φ等价的集合都有相同的势,我们把}{φ简写为0.再考虑集合}}{,{φφ,它与}{0φ=是不等价的,我们把它简写为1.一般地如果有了之后,可以定义它的跟随n },{n φ,简写为1+n .这样我们就得到了自然数N .在N 上可以定义加法:},,,2,1,0{ n =111++++=+ n m n ,还可以证明加法满足结合律和交换律:p m n p m n ++=++)()(,n m m n +=+.这样我们就从空集出发,定义出自然数N .这是一个最抽象的定义,比如说1,它不指一个人,也不指一个物,而是指一个集合}}{,{φφ,这个集合有两个不同的元素{}φ和φ.凡是与它等价的集合,都与它有相同的势,于是一个人,一个物……,都具有相同的势,按我们的理论,用}}{,{φφ作为它们的代表.在集合{}中,考虑一个关系N ∈n m n m ,:),(~:),(n m ~),(n m ′′当且仅当,容易证明n m n m +′=′+~是一个等价关系. 整数Z 现在定义为:Z =~},:),{(N ∈n m n m . 在Z 上可以定义加法:),(),(),(n n m m n m n m ′+′+=′′+,还可以定义减法:.可以验证它们在Z 中封闭,而且互为逆运算.在Z 中我们用0表示N },即),(),(),(n m n m n m n m +′′+=′′−∈n n n :),({ =−=−=22110,这就是作为整数的0. 用表示k ∈+k n n )k n ,:,({N },即 =−+=−+=2)2(1)1(k k k ,用1−表示∈+n n n :)1,({N },即=−=−211 =−32.在集合{Z ,}中,考虑一个关系∈q p q p ,:),(0≠q ~:),(q p ~),(q p ′′当且仅当,它也是一个等价关系,有理数Q 现在定义为:q p q p ′=′Q =~}0,:),{(,≠∈q q p q p Z .在Q 中我们可以定义加法,减法,乘法,除法,还可证明加减法互为逆运算,乘除法互为逆运算等性质,在Q 中我们用q p ,且1),(=q p , 表示其中一个有理数,比如用21表示.)2,(n n 这样我们完成了从空集φ出发到有理数集Q 的定义.在2500年前,毕达哥拉斯学派认为一切线段都由原子组成,而原子有一个固定长度,比如假定单位线段由个原子组成,被测量的线段由个原子组成,则线段之长为:q p q p ,即有理数可以度量一切长度.但毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现正五角形的边长为1时,对角线长不能由有理数表示,希伯斯因此受到迫害.但后来发现有很多长度不能用有理数表示,比如简单地取正方形边长为1,由勾股定理,它的对角线长度的平方应为2,我们记之为2,如果它是有理数,就应该有:nm =2, 1),(=n m , 0≠n . 两边平方,得,因为,都是整数,表明中含2因子,即m 中含2因子,设,则,同样推理表明中也含因子,与222m n =m n 2m p m 2=222p n =n 21),(=n m 矛盾,所以2不是有理数.这表明只有有理数是不够的,必须引入新的数,即无理数,它们合在一起称为实数.§1.2 实数的定义(戴德金分割)定义实数有不同的方法,戴德金分割是一个比较标准的方法.直观地看,有理数Q 在实轴上没有填满,还有很多“孔隙”,戴德金分割就是在数轴上割一刀,把现有的有理数Q 分成两部分,如果这一刀恰好砍在某个有理数上,这一分割对应的就是这个有理数,如果没碰到任何有理数,这个分割就定义出一个无理数.定义1 将有理数全体组成的集合分成A ,B 两类,使满足以下性质:1) A 与B 都至少包含一个有理数(不空);2) 任一有理数,或属于A ,或属于B (不漏);3) A 中任一数均小于a B 中任一数b ,即A a ∈,b a B b <⇒∈(不乱); 4) A 中没有最大的数,即A a ∈,A a ∈′∃,使a a ′<.则称A ,B 为有理数的一个分划,A 称为分划的下类,B 称为分划的上类,记作.)|(B A 定义中4)不同于1)—3),它是非实质性的,只是为了推理的方便.定义中4)用到有理数的稠密性(即两个有理数之间必有一有理数),如A 有最大数,将此数放入B ,则它是B 的最小数,这时A 就无最大数;若A 还有最大数,根据有理数的稠密性,A 的最大数与B 的最小数之间必有一有理数,这个有理数被漏掉了,这与分划的定义矛盾.注意定义没有用到有理数的极限,只用到有理数性质和集合概念.由分划的定义知,若为下类的任一数,则小于a 的任何有理数也属于下类;b 为上类中的任一数,则大于b 的任何有理数也属于上类.a 下面用Q 记有理数的集合.例1 ;},1|{Q ∈<=x x x A .},1|{Q ∈≥=x x x B 容易看出A 、B 构成有理数的一个分划,这时上类B 有最小数1.例2 ; },200|{2Q ∈<>≤=x x x x x A 且或 . },20|{2Q ∈>>=x x x x B 且显然A 、B 不空、不乱,因为没有有理数平方等于2,所以不漏,下面证A 无最大数.设,,要证存在有理数,使0≥a 22<a 0>r 2)(2<+r a .即要证 ,或 .2222<++r ar a 2222a r ar −<+当1≤r 时,只要,也就只要222a r ar −<+1222+−<a a r .所以取有理数r 满足}122,1min{02+−<<a a r 时,即有,故2)(2<+r a A 中存在有理数a r a >+. 当时,属于0<a A 的有理数即大于,这就证明了0a A 无最大数.因此是有理数的一个分划. B A |这个分划中,上类B 无最小数.事实上,设B b ∈,即且,要证存在有理0>b 22>b数,使,且,即0>r 0>−r b 2)(2>−r b , 或 . 2222>+−r br b 2222−<−b r br 要使上式成立,只要, 222−<b br b b r 222−<.由于0222>−b b ,根据有理数的稠密性,知存在有理数r 使得b b r 2202−<<,又由b bb <−222,推知b r <,对这样的r ,满足,,这就证明了,在0>−r b 2)(2>−r b B 中找到了比b 更小的有理数,所以r b −B 无最小数.可见,有理数的分划可以分为两类,第一类型是上类B 有最小数,我们称这类分划为有理分划;第二类型是上类B 无最小数,我们称这类分划为无理分划.显然,任一有理分划与其上类的最小有理数对应,反之任一有理数b ,总可确定一有理分划:},|{Q ∈<=x b x x A ;},|{Q ∈≥=x b x x B .这样,有理数可以与有理分划建立一一对应,我们就用无理分划来填充直线上的“孔隙”.于是有如下定义.定义2 有理数的任一无理分划称为无理数.为了一致起见,称有理数的任一有理分划为有理数.有理数和无理数统称为实数.§1.3 实数的性质为了研究实数的性质,我们回顾有理数的一些熟知性质,如有理数是全序域,所谓全序域,简单地说就是可以比较大小,而且在有理数中可以作加、减、乘、除四则运算.有理数集是稠密的,即对任意有理数、b a )(b a <,总存在有理数c ,使得.由稠密性虽得不出有理数连续地分布在数轴上,但却是密密麻麻地分布在数轴上.另外,有理数满足阿基米德原理,即对任意有理数b ,必存在自然数,使得.b c a <<0>>a n b na >1 实数的运算我们用 ,,,z y x 表示实数,即表示有理数的分划,用表示有理数.用记号R 表示实数的集合,记号Q 表示有理数的集合.为了书写方便,用表示实数 ,,,c b a x A x 的下类,表示实数x B x 的上类,表示去掉最小数的集合.0x B x B 定义1 设有实数x 、,y(1)若集合,则称y x A A =y x =;(2)若集合,,则称y x A A ≠y x A A ⊂x 小于y ,或y 大于x ,记作y x <或x y >. 当x 、为有理分划时,这定义与把y x 、看成有理数的相等和大小关系是一致的.y 与有理数0对应的有理分划仍记为,若,称00>x x 为正实数;若,称0<x x 为负实数.设实数y x <,由定义存在有理数,使1q y A q ∈1,x A q ∉1.再由无最大数,所以存在有理数,,使y A 2q 3q 321q q q <<, y i A q ∈, x i A q ∉ )3,2(=i .有理数产生的有理分划记作,容易看出2q z y z x <<,即实数集是稠密的.为了定义加法,我们需要下面引理.引理1 设x 、y 为实数,令},|{2121y x A a A a a a A ∈∈+=,A B −=Q .则是有理数的分划.)|(B A 证明:A 、B 满足分划不漏的条件是显然的,集合A 无最大元素也是明显的.只要证满足分划的不空和不乱条件即可.先证A 、B 不空. A 不空是显然的,证B 不空. 因集合,不空,,,只要证.x B y B x B b ∈∃1y B b ∈2B b b ∈+21假设不然,即,由A b b ∈+21A 的定义,x A a ∈∃1,y A a ∈2,使,而由分划2121a a b b +=+x 、不乱条件得,y 11b a <22b a <,即得2121b b a a +<+.故矛盾,所以.B b b ∈+21再证不乱.设,,要证A a ∈B b ∈b a <.假设不然,,由b a ≥A 的定义,x A a ∈∃1,y A a ∈2,使得b a a a ≥+=21,因此,由分划12a b a −≥y 的不乱,得y A a b ∈−1,于是A a b a b ∈−+=)(11,故矛盾.所以.b a <因此是有理数的分划.)|(B A 定义2 在引理1条件下,称实数为实数)|(B A x 与y 的和,记作y x +.当x 、为有理分划时,和也为有理分划,且和的定义与把y x 、看成有理数时和的定义是一致的.y 由上看出,这种证明没有什么困难,所以,下面我们只叙述定义,而略去证明.要定义减法只要定义负数即成.负数的定义 给定实数x ,令,}|{0x B a a A ∈−==B A −Q ,则是有理数的分划,我们称为实数)|(B A )|(B A x 的负数,记作x −.由负数定义,容易证明下面性质:(1)若,则有;0<x 0>−x (2)若y x =,则y x −=−;(3);x x =−−)((4))()()(y x y x −+−=+−.为了定义乘法,我们先要定义绝对值. 设0≠x ,称x 与x −中的正实数为x 的绝对值,记作,规定||x 0|0|=,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=.0,0,00,||x x x x x x 当当当;;乘法的定义 设有实数,,令0>x 0>y },0|{}00|{2121Q ∈≤∈<∈<⋅=a a a A a A a a a A y x ∪,;=B A −Q .则是有理数的分划,我们称实数是实数)|(B A )|(B A x 与y 的积,记作y x ⋅.对于一般的情形,我们定义:⎪⎩⎪⎨⎧==⋅−⋅=⋅).00(0)(|),||(|)(|,|||y x y x y x y x y x y x 或异号同号,;、;、显然,有 .||||||y x y x ⋅=⋅要定义除法,只要定义倒数.倒数的定义 设,令0>x },0|{}1|{0Q ∈≤∈=a a a B a a A x ∪, =B A −Q .则是有理数的分划,我们称实数是实数的倒数,记作或)|(B A )|(B A 1−x x 1. 当时,定义,或 0<x 11||−−−=x x ||11x x −=.总之我们用有理数的加法和负数,来定义分划的加法和负数;对正实数情形,用有理数的乘法和倒数,来定义分划的乘法和倒数,对一般的实数乘法和倒数,又化到正实数情形. 2 实数集是域要证集合R 是域,即要对上面定义的加法和乘法运算,满足下列性质:(1)交换律:∈∀y x ,R , x y y x +=+, x y y x ⋅=⋅;(2)结合律:∈∀z y x ,,R ,)()(z y x z y x ++=++,)()(z y x z y x ⋅⋅=⋅⋅;(3)R , , ∈∀x x x =+0x x =⋅1;(4)R , , ;∈∀x 0)(=−+x x )0(11≠=⋅−x x x (5)分配律: z x y x z y x ⋅+⋅=+⋅)(.其中,记号1表示由有理数1所确定的有理分划.前三条性质证明比较简单;第四条性质的证明,用到有理数的阿基米德原理;第五条性质证明较烦琐.我们不打算讨论这些性质的证明,只以第四条加法为例,给出证明的示范.证明0)(=−+x x 的困难,在于每一个负有理数,能否看成集合中的元素,与集合中的元素相加而得,或能否看成集合中的元素,减去集合中的元素而得,为此我们需要下面引理.x A x A −x A 0x B 引理2 给定实数x ,有理数∀0>ε,则x A a ∈∃,,使0xB b ∈ε=−a b . 证明:由分划的不空性,x A a ∈∃0,x B b ∈0,根据阿基米德原理,∃自然数,使得n 00a b n −>ε,考察数:,0a ε+0a ,ε20+a ,, εn a +0)(0b >.在这有限个数中,总存在一个位于x 下类中最大的数,记作x A k a a ∈+=ε0 )(n k < .若ε)1(0++=k a b 不是上类的最小数,、b 即为所求.若是上类的最小数,取a b ε)21(0++=k a a , ε)23(0++=k a b 即成.证,即要证0)(=−+x x 0)(A A x x =−+.设,即,)(x x A a −+∈21a a a +=x A a ∈1,x A a −∈2.由负数定义知,x x B B a ⊂∈−02所以,得,即12a a >−021<=+a a a 0A a ∈,因此.0)(A A x x ⊂−+反之,若,有,根据引理2,存在0A a ∈0>−a x A a ∈1,,且,由负数定义,01x B b ∈a a b −=−11x A b −∈−1,再由加法定义,知)(1111)(x x A b a b a a −+∈−+=−=,因此 .)(0x x A A −+⊂合起来得,即)(0x x A A −+=)(0x x −+=.3 实数集是全序域实数集是全序域,是指实数集R ,对前面所定义的“小于”关系,满足下面四条性质:1) ,R ,下列三式有且仅有一个成立:x ∀∈y y x =,y x <,x y <;2) 若y x <,,则z y <z x <(传递性);3) 若y x <,R ,则∈z z y z x +<+;4) 若y x <,,则0>z z y z x ⋅<⋅.证明 1) 若下类,由定义知y x A A =y x =,其它两式不成立; 若,则或,或不是这样.若是前者,则y x A A ≠y x A A ⊂y x <,其它两式不成立;若是后者,必有,而,由此得.这时必有.因x A a ∈'y A a ∉′y B a ∈′x y A A ⊂y A a ∈∀有a a ′<,推出,所以,即x A a ∈x y A A ⊂x y <.2) 由条件得,;,y x A A ⊂y x A A ≠z y A A ⊂z y A A ≠,因此,,即z x A A ⊂z x A A ≠z x <.3) 由y x <,推出,使,而c ∃y A c ∈x A c ∉,因而x B c ∈.由无最大数,推出y A c ′∃,使.令 y A c c ∈′<0>=−′εc c .由引理2,z a A ∃∈,z b B ∈,且c c a b −′==−ε.于是,z y A a c +∈+′z x B c a c b +∈′+=+,所以z y z x +<+.4)因,根据分划的乘法定义,知0)(>−+x y 0)]([>−+⋅x y z ,由分配律,利用0)(>−⋅+⋅x z y z 0)(=−+x x ,可得)()(x z x z ⋅−=−⋅,所以0)]([>⋅−+⋅x z y z ,即得 z y z x ⋅<⋅.4 实数集的连通性将有理数用直线上的点表示时,发现直线上还留有许许多多“孔隙”.我们用无理数来填充这些“孔隙”,现在问题是这些“孔隙”是否被填满了,如果被填满了,对实数作分划时,就不可能产生新的“数”,否则类似于有理数分划产生无理数一样,对实数分划还可得出新的“数”.事实上,戴德金正是考虑怎么用严格的数学语言,给出有理数是不连通的、实数是连通的定义,经反复研究,发现用“分划”的办法是最恰当地描述连通性的数学语言,对有理数作“不空、不漏、不乱”的分划时,若下类无最大数,则上类也可以无最小数,所以按定义有理数是不连通的;而对实数作“不空、不漏、不乱”的分划时,若下类无最大数,则上类必有最小数,所以按定义实数是连通的.下面我们严格的说明这一点.定义3 把实数集R 分成两个子集X 、Y ,使满足:1) X 、Y 至少包含一个实数(不空); 2) 每一实数或属于X ,或属于Y (不漏);3) 任一属于X 的实数,小于任一属于Y 的实数(不乱);4) X 中无最大数(用到实数稠密性).则称X 、Y 为实数的一个分划,记作,)|(Y X X 称分划的下类,Y 称分划的上类.戴德金定理(连通性) 设为一实数分化,则Y 必有最小数.)|(Y X 证明 首先我们定义一实数.令},|{X x A a a A x ∈∈=; =B Q A −.则是一有理数的分划,为此要证它满足分划的四个条件.)|(B A ⅰ)A 的不空是显然的.证B 不空.由不空,Y Y y ∈∃,又y B b ∈∃,有理数b 一定属于B .若不然,有,由A b ∈A 的定义,X x ∈∃,x A b ∈,由关于实数的“小于关系”的定义,知x y <,这与分划不乱矛盾,所以)|(Y X B b ∈.ⅱ) A 、B 满足不漏条件是显然的;ⅲ) 证满足不乱条件.设,A a ∈B b ∈,要证b a <.假设不然,,由a b ≤A 定义,X x ∈∃,x A a ∈,更有x A b ∈,因此,这与矛盾,所以.A b ∈B b ∈b a <ⅳ) A 无最大数也是明显的.既然是一有理数的分划,所以它为一实数,记作)|(B A )|(B A z =.其次证.假若不然,由X z ∉X 无最大数,X x ∈∃,x z <,根据小于定义,有理数,使,∃c x A c ∈B B c z =∈.由A 的定义,A c ∈,可是B c ∈,故矛盾,所以.X z ∉最后证且是Y 的最小数.因不漏,所以Y z ∈)|(Y X Y z ∈.假设不是Y 的最小数,zY y ∈∃,z y <,∃有理数,使c A A c z =∈,y B c ∈.由,A c ∈X x ∈∃,,再由x A c ∈y B c ∈及小于定义,知x y <,这与不乱矛盾,所以是Y 的最小数. 证毕.)|(Y X z 至此,我们证明了实数集是全序域,且是连通集.我们称连通的全序域为实数空间,仍用记号R 表示.这里我们用R 不能分解成两个不空、不漏、不交的开区间来定义R 的连通性,这定义只对R 适用.对一般空间,需要有开集的概念, 我们用空间不能分解成两个不空、不漏、不交的开集来定义连通性.在这个定义下,实数集R 也是连通的.5 实数的表示给定实数,若由实数我们能确定一个记号,又由记号返回去去确定实数,那么这个记号就可以作为实数的一种表示.)|(B A x =由阿基米德原理,∃整数M 、N 分别属于A 、B ,A M ∈,B N ∈.由M 逐次加1,必能求得两个相邻整数,,0c 10+c A c ∈0,c B ∈+10.可以是正数、负数或零.用,,,,分,间隔为十等分,必有一个是属于下类的最大数,设0c 10⋅c 20⋅c 90⋅c 0c 10+c A c c ∈⋅10, B c c ∈+⋅10110. 其中为中某一数字.1c 9,1,,0 继续分下去,在确定了数码之后,可确定,使121n-c ,,c ,c n c A c c .c c n ∈ 210, B c c c c n n ∈+101.210 , 其中为中某一数字i c 9,1,,0 )21(n ,,,i =,由此可得一记号n c c c c 210.,称为无限小数,它是实数的一种表示. 当k k c c c 101.10+ 是上类的最小数时,容易看出)(9k n c n >=;又中一定有无限个数字不为零,否则下类中就有最大数.n c 反之,任给一有无限个不为零的无限小数,总可找到一个实数n c n c c c c 210.x ,刚好被它所表示.为此考察有理数n n c c c c a 210.=, n n n c c c b 101.10+= ,显然 ,n n b a <),, 21(=n . 现在定义有理数的一个分划:把一切大于的有理数归为上类n a B ,把一切余下的有理数归为下类A ,则是一个有理分划.显然)|(B A A a n ∈,∀自然数,当时,有, 当时,有m m n ≥m n n b b a ≤<m n <m m n b a a <≤.由的任意性,所以m B b n ∈),, 21(=n .这说明A 、B 不空.满足不漏条件是显然的.再证满足不乱条件:设,A a ∈B b ∈,由A 、B 定义,n ∃,使.否则大于一切,应属于n a a ≤a n a a B ,矛盾.再由b 大于一切,即得n a b a a n <≤.由无穷多个不为零,所以n c A 无最大数.这样我们得到实数)|(B A x =.因,,所以是A a n ∈B b n ∈ n c c c c 210.x 的无穷小数表示.还可证明,当实数y x ≠时,这种表示式也不相同.假设x 、y 有相同的无限小数表示:且设 n c c c c 210.y x <,则∃有理数,使c y A c ∈,x B c ∈.由集合无最大数,,y A c ′∃y A c c ∈′<,x B c ∈′,记号,意义同上,因,由得,又因及n a n b x n A a ∈x B c ∈c a n <y n B b ∈y A c ∈′得c b n ′>,这样 n n n a b c c 1010=−<−′<. 由阿基米德原理,∃自然数,使 n 1)(>−′c c n ,更有,矛盾.这矛盾是由于假设1)(10>−′c c n x 、有相同的无限小数表示引起的,所以y y x ≠时,有不同的表示式.上面我们建立了实数与无限小数之间的一一对应关系,现在我们称无限小数为实数,这样,我们又回到了对以前实数的认识.习题1.求证:∀自然数,n )2(+n n 是无理数.2.求证:为无理数.10cos 3.设)(21+∞→→+++n a na a a n , 求证:0lim=+∞→n a n n .4.设(为有限或无限).求证: a x n n =+∞→lim a a n x x x n n =++++∞→ 21lim. 5.设.求证: a a a n n n =−++∞→)(lim 1a n a n n =+∞→lim. 6.设序列且)(+∞→→n a x n ),2,1(0 =>n x n .求证:调和平均序列)(11121+∞→→+++=n a x x x ny n n .7.设且.求证: 0>n a a a n n =+∞→lim a a a a n n n =+∞→ 21lim .8.设数列{}满足如下条件:{}n n y x ,(1){严格递增;}n y (2)+∞=+∞→n n y lim ; (3)a y y x x nn n n n =−−+++∞→11lim . 求证:a y x nn n =+∞→lim . 9.求证1ln 1211lim =++++∞→n n n 10.求证13221lim 23=++++∞→n n n 11.设是上的连续函数,其最大值和最小值分别为)(x f ],[b a M 和.求证:必存在区间)(M m m <],[βα,满足条件:(1)m f M f ==)(,)(βα或M f m f ==)(,)(βα;(2)M x f m <<)(,当),(βα∈x .。

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