2020届高考数学（理）热点猜押练一 致胜高考必须掌握的20个热点 热点练15 立体几何中的证明与计算问题

1.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC. (1)证明:A1C⊥平面BED. (2)求二面角A1-DE-B的余弦值.

2.如图,三棱台ABC-EFG的底面是正三角形,平面ABC⊥平面BCGF,CB=2GF, BF=CF. (1)求证:AB⊥CG. (2)若BC=CF,求直线AE与平面BEG所成角的正弦值. 3.如图,在底面为矩形的四棱锥P-ABCD中,PB⊥AB. (1)证明:平面PBC⊥平面PCD. (2)若异面直线PC与BD所成角为60°,PB=AB,PB⊥BC,求二面角B-PD-C的大小.

4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠BAD=45°,PD=2,M为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上,且PF=3FB. (1)求证:EF∥平面ABCD. (2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 5.如图,多面体ABC-DB1C1为正三棱柱ABC-A1B1C1沿平面DB1C1切除部分所得,M为CB1的中点,且BC=BB1=2. (1)若D为AA1中点,求证AM∥平面DB1C1. (2)若二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,求直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值.

6.如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD. (2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。. 猜押练一 致胜高考必须掌握的20个热点 热点练15 立体几何中的证明与计算问题

1.【解析】以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,射线DC为y轴的正半轴,射线DD1为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,即可得出B(2,2,0), C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4),=(0,2,1),=(2,2,0),=(-2,2,-4),=(2,0,4). (1)因为·=0,·=0, 所以A1C⊥BD,A1C⊥DE, 因为BD∩DE=D,所以A1C⊥平面BED, (2)设向量n=(x,y,z)是平面DA1E的一个法向量, 则n⊥,n⊥, 故2y+z=0,2x+4z=0.令y=1,则z=-2,x=4,n=(4,1,-2), 等于二面角A1-DE-B的平面角,

cos==错误!未找到引用源。. 2.【解析】(1)取BC的中点为D,连接DF. 由ABC-EFG是三棱台得,平面ABC∥平面EFG,从而BC∥FG. 因为CB=2GF,所以CDGF, 所以四边形CDFG为平行四边形,所以CG∥DF. 因为BF=CF,D为BC的中点, 所以DF⊥BC,所以CG⊥BC. 因为平面ABC⊥平面BCGF,且交线为BC,CG⊂平面BCGF, 所以CG⊥平面ABC,而AB⊂平面ABC, 所以CG⊥AB. (2)连接AD. 由△ABC是正三角形,且D为BC中点,则AD⊥BC. 由(1)知,CG⊥平面ABC,CG∥DF, 所以DF⊥AD,DF⊥BC, 所以DB,DF,DA两两垂直. 以DB,DF,DA分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设BC=2,则A(0,0,错误!未找到引用源。),E错误!未找到引用源。,B(1,0,0),G(-1,错误!未找到引用源。,0). 所以=错误!未找到引用源。,=(-2,错误!未找到引用源。,0), =错误!未找到引用源。. 设平面BEG的一个法向量为n=(x,y,z),

由可得,错误!未找到引用源。 令x=错误!未找到引用源。,则y=2,z=-1,所以n=(错误!未找到引用源。,2,-1). 设AE与平面BEG所成角为θ,

则sin θ=|cos <,n>|==错误!未找到引用源。. 3.【解析】(1)由已知四边形ABCD为矩形,得AB⊥BC, 因为PB⊥AB,PB∩BC=B,所以AB⊥平面PBC. 又CD∥AB,所以CD⊥平面PBC. 因为CD⊂平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD. (2)以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.

设PB=AB=1,BC=a(a>0),则B(0,0,0),C(0,0,a),P(1,0,0),D(0,1,a), 所以=(-1,0,a),=(0,1,a),

则=cos 60°,即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 解得a=1,a=-1(舍去).

设n=(x1,y1,z1)是平面PBD的一个法向量,则 即错误!未找到引用源。 可取n=(0,1,-1). 设m=(x2,y2,z2)是平面PCD的一个法向量,

则即错误!未找到引用源。 可取m=(1,0,1),所以cos=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 由图可知二面角B-PD-C为锐角,所以二面角B-PD-C的大小为60°. 4.【解析】(1)(方法一)如图,设DM中点为N,连接EN,NF,BD,则有NE∥AD, 因为NE⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 所以NE∥平面ABCD, 又因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以NF∥DB, 因为NF⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以NF∥平面ABCD, 又因为NF∩NE=N,所以平面NEF∥平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD.

(方法二)如图,设AD中点为R,Q为线段BD上一点,且DQ=3QB. 连接ER、RQ、QF,则有ER∥PD, 因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以QF∥PD,所以QF∥ER,且QF=错误!未找到引用源。PD=ER, 即四边形QFER为平行四边形, 所以EF∥QR, 因为EF⊄平面ABCD,RQ⊂平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD.

(2)因为平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,所以PD⊥底面ABCD, 如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),P(0,0,2),A(1,0,0),C错误!未找到引用源。, 所以==(-1,0,0),=错误!未找到引用源。. 设平面PBC的一个法向量为n1=(x,y,z),

则所以错误!未找到引用源。 取y=2错误!未找到引用源。,可得n1=(0,2错误!未找到引用源。,1), 又易知平面PAD的一个法向量n2=(0,1,0), 设平面PAD与平面PBC所成锐二面角为θ, 则cosθ=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.

5.【解析】(1)取B1C1中点N,连接MN,则MN为△B1C1C的中位线,所以MN错误!未找到引用源。CC1, 因为D为AA1中点,所以AD错误!未找到引用源。CC1, 所以MN∥AD,MN=AD, 所以四边形ADNM为平行四边形, 所以AM∥DN,所以AM∥平面DB1C1. (2)由B1C1⊥DN,B1C1⊥MN可得∠DNM是二面角 D-B1C1-B的平面角, 因为二面角D-B1C1-B大小为错误!未找到引用源。,AD=错误!未找到引用源。BB1, 如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,错误!未找到引用源。),C(-1,0,0),B1(1,2,0),D(0,1,错误!未找到引用源。), 所以=(1,1,-错误!未找到引用源。),=(-1,0,-错误!未找到引用源。),=(1,2,-错误!未找到引用源。), 设平面ACB1的法向量为n=(x,y,z),

⇒n=(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,1), 所以|cos|==错误!未找到引用源。. 所以直线DB1与平面ACB1所成角的正弦值为错误!未找到引用源。.

6.【解析】(1)因为平面ABCD⊥平面ADEF, 平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD, 所以ED⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以ED⊥AB, 因为AB=1,AD=2,∠BAD=60°, 所以BD=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以AB2+BD2=AD2, 所以AB⊥BD, 又因为BD⊂平面BDE, 所以平面ABE⊥平面EBD. (2)以B为坐标原点,分别以BA,BD为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz, 则A(1,0,0),B(0,0,0),C错误!未找到引用源。,D(0,错误!未找到引用源。,0),E(0,错误!未找到引用源。,2),F(1,0,1),则=错误!未找到引用源。,=(0,0,2), =(1,0,0),=(1,-错误!未找到引用源。,-1), 设=λ=(λ,-错误!未找到引用源。λ,-λ),(0≤λ≤1), 则=+=(λ,错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。λ,2-λ), 设平面CDE的法向量为m=(x1,y1,z1), 平面ABM的法向量为n=(x2,y2,z2),

则

令y1=1,得m=(-错误!未找到引用源。,1,0), 令y2=2-λ,得n=(0,2-λ,错误!未找到引用源。λ-错误!未找到引用源。), 所以|cos θ|=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即λ=错误!未找到引用源。, 即点M为线段EF的中点时,平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!未找到引用源。.