§4.2 多项式的恒等变形教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。

教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。

课时安排：2课时。

教学内容如下：一、 多项式的基本概念多项式是由数与字母进行+、—、⨯运算而构成。

定义 设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。

所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。

零多项式是唯一不定义次数的多项式。

二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理）定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。

证明 用数学归纳法（1）当n=1时，10()f x a x a =+。

因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得00a =。

由此得1()0f x a x =≡，再令x=1，则有10a =。

因此，命题对于一次多项式成立。

（2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于n 次多项式也成立。

如果对于x 的任意值，都有111()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 0≡ ①在等式①中，以2x 代x ，得11110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡ ②①2n ⨯—②，得112221202(21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡ ③这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即122122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-=02(21)0,,(21)0n k k n n ka a ---=-= 因为 20,210(1,2,n k k k n -≠-≠= 所以12100,0,,0,0n n a a a a --====代入①得，0nna x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。

定理2 两个多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ （0n a ≠）1m 110g(x)=b (0)m m m m x b x b x b b --++++≠ 恒等的充分必要条件是它们的次数相等，且对应项系数相等，即,(1,2,,)i i n m a b i n ===证明 条件的充分性是显然的，下面证明必要性。

为了确定起见，不妨设n ≥m 。

若两个多项式的次数不同，可以在次数较低的多项式中添系数为零的项，使1110()n n m n n m g x b x b x b x b x b --=++++++ 。

因为()()f x g x ≡，所以111110()()()()()()0n n n n n n o f x g x a b x a b x a b x a b ----=-+-++-+-≡ 由定理1，得11000,0,,0n n n n a b a b a b ---=-=-= 所以1100,,,n n n n a b a b a b --=== 由此，f(x)与g(x)除系数为零的项以外，完全由相同的项所组成，即次数相等，且对应项系数相等。

以上两个定理，对于多元多项式也能成立，证明从略。

定理2也是待定系数法的理论根据。

定理3 如果两个次数不大于n 的多项式f(x)和g(x ），它们对x 的n+1个不同的值都有相等的值，那么这两个多项式恒等，即()()f x g x ≡。

证明 设()()()R x f x g x =-。

如果()()f x g x ≠（不恒等），即()0R x ≠（不恒等），那么()R x 是一个次数不超过n 的多项式。

由题设知，有n+1个不同的值使()R x =0，这与代数基本定理矛盾。

所以f(x)与g(x)恒等。

由定理3可知，对于次数不大于n 的多项式f(x)，如果x 等于不同的121,,,n n x x x x + 时它的n+1个值121,,,n n y y y y + 是已知的，就能确定f(x)各项的系数，从而唯一确定这个多项式。

这就是著名的拉格朗日插值公式：23111213111()()()()()()()()()n n n n x x x x x x x x f x y x x x x x x x x ++----=----+13122123221()()()()()()()()n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x ++--------+ +12111211()()()()()()()()n n nn n n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x -+-+--------+12111112111()()()()()()()()n n n n n n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x -++++-+--------例1 已知f(x)是二次多项式，且f(-1)=13,f(0)=1,f(1)=-1,求f(x)。

解 由拉格朗日插值公式，得 (0)(1)(1)(1)(1)(0)()131(1)(1)(2)1(1)21x x x x x x f x --+-+-=⋅+⋅+-⋅-⋅-⋅-⋅=2571x x -+ 三、待定系数法1、定义 按照一定规律，先写出问题解的一般形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有一些尚待确定的未知系数 ，然后根据题设条件确定这些未知系数的值，从而得到问题的解。

这种方法通常叫做待定系数法。

其中待确定的未知系数叫做待定系数。

2、确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。

比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。

特殊值法，是指通过取字母的一些特定数值代人恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。

待定系数法应用十分广泛，主要用于处理多项式的恒等变形问题，如分解因式、解方程、确定函数的解析式等。

例2 已知多项式432511x x x ax b -+++能够被221x x -+整除，求a,b 的值。

解法1 比较系数法 设商式为2x mx b ++，则 432511x x x ax b -+++ =（2x mx b ++）（221x x -+） ①将①式右边展开，得432511x x x ax b -+++=432(2)(12)(2)x m x b m x m b x b +-++-+-+ ② 由于②式是恒等式，比较两个对应项的系数，由定理2，得2512112m b m m b a -=-⎧⎪+-=⎨⎪-=⎩解方程组得 a=-11,b=4解法2 特殊值法由题设条件，可设432511x x x ax b -+++=（2x mx b ++）（221xx -+） ①由于①式是恒等式，它对所有使式子有意义的x 值都成立。

分别令x=1,2,-1,得7020242174(1)a b a b m b a b m b ++=⎧⎪++=++⎨⎪-+=-+⎩解方程组得 a=-11,b=4例3 以x-2的幂表示多项式3231382x x x -+-。

解法1 特殊值法 按x-2的降幂排列，可设 3231382x x x -+-= 323(2)(2)(2)x a x b x c -+-+-+ ①①式中分别令x=2,0,1得142442234c a b c a b c =-⎧⎪-+-+=-⎨⎪-+-+=-⎩解出5814a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以 3231382x x x -+-=323(2)5(2)8(2)14x x x -+----解法2 应用综合除法略。

四、多项式恒等变形中常用的公式1、222()2x y x xy y ±=±+2、22()()x y x y x y -+=-3、33223()33x y x x y xy y ±=±+±4、2233()()x y x xy y x y ±+=5、2()()()x a x b x a b x ab ++=+++6、22221231212131()222n n n n x x x x x x x x x x x x x -++++=+++++++7、1221()()n n n n n n x y x x y xy y x y -----++++=- 8、21222322122()()k k k k k k x y xx y x y y x y ----+-+--=-9、22122222121()()kk k k k k x y xx y x y y x y --+++-+-+=+10、222333()()3x y z x y z xy yz zx x y z xyz ++++---=++-11、11222()n o n n n k n k k n n n n n n n x y C x C x y C x y C x y C y ---+=++++++ 12、带余除法定理：设f(x)、 g(x)是数域F 上的两个多项式，且g(x)≠0,则存在数域上的唯一的一对多项式q(x) 和 r(x)，使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x) ，其中 r(x) =0 或者 r(x)的次数低g(x)的次数。

13、因式定理：多项式f(x)被(x-a)整除的充分必要条件是f(a)=0。

例4 已知 x+y+z=0,求证：555333222532x y z x y z x y z ++++++=⋅证明1 将已知式的两边分别平方、三次方，整理得2222x y z x y y z z x ++++=- ①3333x y z xyz ++= ②证明2 由待证式的对称性，可设x 、y 、 z 是关于T 的三次方程30T AT B -+=的三个根，则有2222()2x y z xy yz zx A ++=-++=-由于3330,0,0x Ax B y Ay B z Az B -+=-+=-+= 所以333()33x y z A x y z B B ++=++-=-同理5555x y z AB ++= 所以原等式成立。