代数式的恒等变换方法与技巧
例：设p
x =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：
原方程等价于222(0,0
x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩
2
22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩
222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件
24(4)44048(2)33
p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
这时，原方程有惟一实根x =。
一、分类变换
当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。
分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立：
（a
=；
（b
1=；
（c
2=。
解：
(0)m m =≥ 记方程左边为f(x)，
则()f x =
1
|1|1|1
1
2
x
x
≥
==
≤≤
由此可知，
当m=时，原方程的解集为
1
[,1]
2
；
当m∈时，解集为∅；
当)
m∈+∞
m
=，解得2
1
(2)
4
x m
=+。
即当)
m∈+∞时，原方程的解集为2
1
{(2)}
4
m+。
例2：在复数范围内解方程组222
555
3,
3,
3.
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
解：考虑数列*
,
n n n
n
a x y z n
=++∈N。
不难证明此数列满足递推式321
()()
n n n n
a x y z a xy yz zx a xyza
+++
=++-+++，其中
125
3,3
a a a
===。
利用基本恒等式，得2
12
1
()3
2
xy yz zx a a
++=-=，
3123
11
[()]
33
xyz a a a xy yz zx a
=--++=，
∴{}
n
a的递推式化为*
3213
1
33,
3
n n n n
a a a a a n
+++
=-+⋅∈N
由此得
432313543323
11
3349,331027
33
a a a a a a a a a a a a
=-+⋅=---+⋅=-
由
5
3
a=，得
3
10273
a-=，∴
3
3
a=。
∴
3
1
1
3
xyz a
==。
综上所述知，原方程组等价于
3,
3,
1.
x y z
xy yz zx
xyz
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33
3310
t t t
-+-=的三根，
此三次方程即3
123
(1)0,1
t t t t
-=∴===，
这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。
注：此题还可以利用三次单位根
1
2
ω=-+的性质来解。
二、利用对称性
对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
例如，x2y+y2z+z2x是轮换
式，但不是对称式。
由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x
1最大（或最小）。
例3：设x ，y ，z>0，求证
(x+y+z)5-(x 5+y 5+z 5)≥10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)
等号成立当且仅当x=y=z 。
证：令5555(,,)()()f x y z x y z x y z =++-++。
易知(,,f x y z ）是对称式。
∵当x+y=0时，f(x ，y ，z)=0，∴()|(,,)x y f x y z +。
从而()|,()|y z f z x f ++，
∴()()()|x y y z z x f +++。
注意到f 是关于x ，y ，z 的五次齐次式，故可设
222(,,)()()()[()]()f x y z x y y z z x A x y z B xy yz zx =++++++++, 令：0,1,1x y z ===，
得：2A+B=15。
令1x y z ===，得A+B=10。
因此，A=B=5。
∴222(,,)5()()()()f x y z x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++ 注意到,,0x y z >，且222x y z xy yz zx ++≥++，
得(,,)10()()()()f x y z x y y z z x xy yz zx ≥+++++
等号成立的条件为x y z ==。
例4：设a ，b ，c 是三角形的边长，
证明222()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥
并说明等号何时成立。
证明：令欲证不等左边为(,,)f a b c ，则易证(,,)f a b c 为轮换式（非对称）。
故可设,a b c ≥。
注意到0b c a +->，则可先考虑将f 中分离出一个含b+c-a 的非负式子。
事实上222()()[()]()f a b a b b c b c c b b a c a =-+-+-+-
2222()()()()(2)()()c b a b c a ab b c ab c a c b a b a b b c b c =-+---+--+-+- 再令222*()()(2)()()f ab b c ab c a c b a b a b b c b c =--+--+-+- 令a c =，有222*()()()0f bc b c c b c b b c b c =--+-+-=
令a b =，有2222*()()(2)()0f b b c b c b c b b c b c =--+--+-=。