综合仿真练(一)
1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________.
解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}．
答案：{0,3}
2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.
解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)，
所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1.
答案：1
3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．
解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，1－2log 6x ≥0，解得0<x ≤ 6.
答案：(0， 6 ]
4．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．
解析：将2个白球记为A ，B,2个红球记为C ，D,1个黄球记为E ，则从中任取两个球的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(E ，C )，(E ，D )共6个，故所求概率为P ＝610＝35
.
答案：35
5．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是________． Read x
If x ≤2 Then
y ←6x Else y ←x ＋5
End If
Print y
解析：若6x ＝13，则x ＝136>2，不符合题意；若x ＋5＝13，则x ＝8>2，符合题意，故x ＝8.
答案：8
6．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2
)分别为：
9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．
解析：这组数据的平均数为15(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为15[(10－9.4)2＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.
答案：0.244
7．(2020-2021·南通中学模拟)《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求球的直径d 的公式d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫169V 13.若球的半径为r ＝1，根据“开立圆术”的方法计算该球的体积为________．
解析：根据公式d ＝⎝
⎛⎭⎪⎫169V 13得，2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫169V 13，解得V ＝92. 答案：92 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255
，AB ―→·AC ―→＝3，b ＋c ＝6，则a ＝________.
解析：∵cos A 2＝255，∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35
，又由AB ―→·AC ―→＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×85
＝20，解得a ＝2 5.
答案：2 5
9．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－15
，则tan α的值为________． 解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－151－12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－15＝311. 答案：311
10.(2020-2021·海门中学模拟)边长为2的三个全等的等边三角形
摆放成如图形状，其中B ，D 分别为AC ，CE 的中点，N 为GD 与CF 的交点，
则AN ―→·EG ―→＝________.
解析：由已知得AN ―→＝2AB ―→＋CN ―→＝2AB ―→＋12
AH ―→，EG ―→＝－DE ―→＋DG ―→＝－AB ―→＋CH ―→＝－AB ―→＋AH ―→－AC ―→＝－3AB ―→＋AH ―→，所以AN ―→·EG ―→＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2AB ―→＋12AH ―→ ·()－3AB ―→＋AH ―→ ＝－6|AB ―→|2＋12AB ―→·AH ―→＋12|AH ―→|2，因为等边三角形的边长为2，所以AN ―→·EG ―→＝－6×12＋12×1×2×12＋12×22＝－72
. 答案：－72
11．(2020-2021·泰州中学模拟)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y
的最小值为________． 解析：∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，∴2lg 2＝(x ＋y )lg 2，∴x ＋y ＝1.∴1x
＋9
y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ≥10＋2y x ·9x y ＝10＋6＝16，当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y 的最小值为16.
答案：16
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2
＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R )过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．
解析：易得圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.
答案：5
13．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d (d >0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列．若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．
解析：由题意设这四个数分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，a 1＋88，其中a 1，d 均为正偶数，
则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋88)，整理得a 1＝4d 22－d 3d －88
>0，所以(d －22)(3d －88)<0，解得22<d <883， 所以d 的所有可能的值为24,26,28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝53
；当d ＝26时，a 1＝2085(舍去)；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝87.所以q 的所有可能的值构成的集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫53，87. 答案：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫53，87 14．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ≤x ≤e 2，若f (x )与g (x )的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关
于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是_______________________________________．
解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对
称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ≤x ≤e 2的图象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝
－2ln x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e 2，画出函数y ＝－2ln x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ≤x ≤e 2的图象如图所示，设曲线y ＝－2ln x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ≤x ≤e 2上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端点，P 为切点)．因为y ′＝－2x ，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－2x 0
(x －x 0)，又该切线经过原点，所以0＋2ln x 0＝－2x 0(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－2e .又点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，2，所以k OB ＝2e ，所以k ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2e ，2e . 答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2e ，2e。