江苏南通市2018届高三数学第二次调研试卷（含答案）南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合，则▲．2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为▲．3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为▲．4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为▲．6．在中，已知，则的长为▲．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的焦距为▲．8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点，，则的值为▲．9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲．10．已知均为正数，且，则的最小值为▲．11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆的标准方程为▲．12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数的取值范围是▲．13．在平面四边形中，已知，则的值为▲．14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点E，F分别在棱BB1，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC//平面AEF．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？19．（本小题满分16分）设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．记（i1，2，3，4）．（1）求证：数列不是等差数列；（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；（3）数列能否为等比数列？并说明理由．20．（本小题满分16分）设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若，求证：．南通市2018届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证：．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a，b，c为正实数，且，求证：．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元．（1）求概率；（2）求的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10分）已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．南通市2018届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合，则▲．【答案】2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为▲．【答案】3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为▲．【答案】304．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲．【答案】1255．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为▲．【答案】136．在中，已知，则的长为▲．【答案】7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的焦距为▲．【答案】8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点，，则的值为▲．【答案】9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲．【答案】10．已知均为正数，且，则的最小值为▲．【答案】811．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆的标准方程为▲．【答案】12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数的取值范围是▲．【答案】13．在平面四边形中，已知，则的值为▲．【答案】1014．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．解：（1）因为，，，所以，且．……3分因为，所以，即a22abb2&# 61472;1，所以，即．……6分（2）因为，所以．依题意，．……8分因为，所以．化简得，，所以．……12分因为，所以．所以，即．……14分16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，点E，F分别在棱BB1，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC//平面AEF．证明：（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1//CC1．因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1．……2分又AE⊥BB1，AEAF，AE，AF平面AEF，所以BB1⊥平面AEF．……5分又因为BB1平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C．……7分（2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE∠ACF，ABAC，所以△AEB≌△AFC．所以BECF．……9分又由（1）知，BECF．所以四边形BEFC是平行四边形．从而BCEF．……11分又BC平面AEF，EF平面AEF，所以BC//平面AEF．……14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．解：设，．（1）在中，令，得，从而b3．……2分由得．所以．……4分因为，所以，解得．所以椭圆的标准方程为．……6分（2）方法一：直线PB1的斜率为，由所以直线QB1的斜率为．于是直线QB1的方程为：．同理，QB2的方程为：．……8分联立两直线方程，消去y，得．……10分因为在椭圆上，所以，从而．所以．……12分所以．……14分方法二：设直线PB1，PB2的斜率为k，，则直线PB1的方程为．由直线QB1的方程为．将代入，得，因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以，从而． (8)分因为在椭圆上，所以，从而．所以，得．……10分由，所以直线的方程为．联立则，即．……12分所以．……14分18．（本小题满分16分）将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？解：（1）设所得圆柱的半径为dm，则，……4分解得．……6分（2）设所得正四棱柱的底面边长为dm，则即……9分方法一：所得正四棱柱的体积……11分记函数则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．所以当，时，dm3．……14分方法二：，从而．……11分所得正四棱柱的体积．所以当，时，dm3．……14分答：（1）圆柱的底面半径为dm；（2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．……16分【评分说明】①直接“由得，时正四棱柱的体积最大”给2分；②方法一中的求解过程要体现，凡写成的最多得5分，其它类似解答参照给分．19．（本小题满分16分）设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．记（i1，2，3，4）．（1）求证：数列不是等差数列；（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；（3）数列能否为等比数列？并说明理由．解：（1）假设数列是等差数列，则，即．因为是等差数列，所以．从而．……2分又因为是等比数列，所以．所以，这与矛盾，从而假设不成立．所以数列不是等差数列．……4分（2）因为，，所以．因为，所以，即，……6分由，得，所以且．又，所以，定义域为．……8分（3）方法一：设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，则……10分将①+③－2×②得，将②+④－2×③得，……12分因为，，由⑤得，．由⑤⑥得，从而．……14分代入①得．再代入②，得，与矛盾．所以c1，c2，c3，c4不成等比数列．……16分方法二：假设数列是等比数列，则．……10分所以，即．两边同时减1得，．……12分因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，所以．又，所以，即．……14分这与且矛盾，所以假设不成立．所以数列不能为等比数列．……16分20．（本小题满分16分）设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若，求证：．解：（1）由题意，对恒成立，因为，所以对恒成立，因为，所以，从而．……3分（2）①，所以．若，则存在，使，不合题意，所以．……5分取，则．此时．所以存在，使．……8分②依题意，不妨设，令，则．由（1）知函数单调递增，所以．从而．……10分因为，所以，所以．所以．……12分下面证明，即证明，只要证明．设，所以在恒成立．所以在单调递减，故，从而得证．所以，即．……16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证：．证明：延长交⊙O于点E，则．……5分因为，所以．所以．……10分B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．解：依题意，依次实施变换，所对应的矩阵．……5分则，，．所以分别变为点．从而所得图形的面积为．……10分C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．解：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．则点的直角坐标为．……2分将直线：的方程变形为：，化为普通方程得，．……5分所以到直线：的距离为：．故所求圆的普通方程为．……8分化为极坐标方程得，．……10分D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a，b，c为正实数，且，求证：．证明：因为a，b，c为正实数，所以（当且仅当取“=”）．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（2）求的概率分布及数学期望．解：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形．则事件：“”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．所以．……3分（2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．则，，，．所以的概率分布列为：X300400500600700P……8分所以（元）．……10分23．（本小题满分10分）已知…，．记．（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．解：由二项式定理，得（i0，1，2，…，2n+1）．（1）；……2分（2）因为，……4分所以．……8分．因为，所以能被整除．……10分。