江苏省2013届高考数学(苏教版)二轮复习专题10 数__列(Ⅱ)回顾2008~2012年的高考题,数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中,会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题,只有2009年难度为中档题,其余四年皆为难题.预测在2013年的高考题中,数列的考查变化不大: 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质.2在解答题中,依然是考查等差、等比数列的综合问题,可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证.1.在等差数列{a n }中,公差d =12,前100项的和S 100=45,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=________.解析:S 100=1002(a 1+a 100)=45,a 1+a 100=910,a 1+a 99=a 1+a 100-d =25.a 1+a 3+a 5+…+a 99=502(a 1+a 99)=502×25=10.答案:102.已知数列{a n }对任意的p ,q ∈N *满足a p +q =a p +a q ,且a 2=-6,那么a 10=________. 解析:由已知得a 4=a 2+a 2=-12,a 8=a 4+a 4=-24,a 10=a 8+a 2=-30. 答案:-303.设数列{a n }的前n 项和为S n ,令T n =S 1+S 2+…+S nn,称T n 为数列a 1,a 2,…,a n 的“理想数”,已知数列a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为2 004,那么数列12,a 1,a 2,…,a 500的“理想数”为________.解析:根据理想数的意义有,2 004=500a 1+499a 2+498a 3+…+a 500500,∴501×12+500a 1+499a 2+498a 3+…+a 500501=501×12+2 004×500501=2 012.答案:2 0124.函数y =x 2(x >0)的图象在点(a k ,a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k +1,k 为正整数,a 1=16,则a 1+a 3+a 5=________.解析:函数y =x 2(x >0)在点(16,256)处的切线方程为y -256=32(x -16).令y =0得a 2=8;同理函数y =x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y -64=16(x -8),令y =0得a 3=4;依次同理求得a 4=2,a 5=1.所以a 1+a 3+a 5=21.答案:215.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________.解析:前n -1行共有正整数1+2+…+(n -1)个,即n 2-n2个,因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2-n2+3个,即为n 2-n +62.答案:n 2-n +62[典例1](1)已知正数数列{a n }对任意p ,q ∈N *,都有a p +q =a p ·a q ,若a 2=4,则a n =________. (2)数列{a n }为正项等比数列,若a 2=1,且a n +a n +1=6a n -1(n ∈N ,n ≥2),则此数列的前n 项和S n =________.[解析] (1)由a p +q =a p ·a q ,a 2=4,可得a 2=a 21=4⇒a 1=2,所以a p +1=a p ·a 1,即a p +1a p=a 1=2,即数列{a n }为等比数列,所以a n =a 1·q n -1=2·2n -1=2n .(2)设等比数列的公比为q ,由a n +a n +1=6a n -1知,当n =2时,a 2+a 3=6a 1.再由a 2=1,得1+q =6q,化简得q 2+q -6=0,解得q =-3或q =2.∵q >0,∴q =2,∴a 1=12,∴S n =121-2n1-2=2n -1-12.[答案] (1)2n(2)2n -1-12这两题分别是由“a p +q =a p ·a q ”和“a n +a n +1=6a n -1”推出其他条件来确定基本量,不过第(1)小题中首先要确定该数列的特征,而第(2)小题已经明确是等比数列,代入公式列方程求解即可.[演练1]已知{a n }是等差数列,a 10=10,前10项和S 10=70,则其公差d =________. 解析:法一:因为S 10=70,所以10a 1+a 102=70,即a 1+a 10=14.又a 10=10,所以a 1=4,故9d =10-4=6,所以d =23.法二:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+9d =10,10a 1+45d =70,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=4,d =23.答案:23[典例2]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1)n,n ≥1. (1)写出数列{a n }的前三项a 1,a 2,a 3;(2)求证数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +23×-1n 为等比数列,并求出{a n }的通项公式.[解] (1)在S n =2a n +(-1)n,n ≥1中分别令n =1,2,3得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2a 1-1,a 1+a 2=2a 2+1,a 1+a 2+a 3=2a 3-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 2=0,a 3=2.(2)由S n =2a n +(-1)n,n ≥1,得S n -1=2a n -1+(-1)n -1,n ≥2.两式相减得a n =2a n +(-1)n -2a n -1-(-1)n -1,n ≥2.即a n =2a n -1-2(-1)n,n ≥2.a n =2a n -1-43×(-1)n -23×(-1)n =2a n -1+43×(-1)n -1-23×(-1)n , a n +23×(-1)n =2(a n -1+23×(-1)n -1)(n ≥2),故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +23×-1n 是以a 1-23=13为首项,2为公比的等比数列.所以a n +23×(-1)n=13×2n -1,即a n =13×2n -1-23×(-1)n.1.求数列通项公式的方法:(1)公式法;(2)根据递推关系求通项公式有:①叠加法;②叠乘法;③转化法;(3)已知前n 项和公式用a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2求解.2.数列求和的基本方法:(1)公式法;(2)分组法;(3)裂项相消法;(4)错位相减法;(5)倒序相加法.[演练2]已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足2S n =pa n -2n ,n ∈N *,其中常数p >2. (1)证明:数列{a n +1}为等比数列; (2)若a 2=3,求数列{a n }的通项公式;(3)对于(2)中数列{a n },若数列{b n }满足b n =log 2(a n +1)(n ∈N *),在b k 与b k +1之间插入2k -1(k ∈N *)个2,得到一个新的数列{c n },试问:是否存在正整数m ,使得数列{c n }的前m 项的和T m =2 011?如果存在,求出m 的值;如果不存在,说明理由.解:(1)证明:因为2S n =pa n -2n , 所以2S n +1=pa n +1-2(n +1), 所以2a n +1=pa n +1-pa n -2, 所以a n +1=pp -2a n +2p -2,所以a n +1+1=p p -2(a n +1). 因为2a 1=pa 1-2,且p >2,所以a 1=2p -2>0. 所以a 1+1=pp -2>0.所以a n +1+1a n +1=pp -2≠0. 所以数列{a n +1}为等比数列. (2)由(1)知a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫p p -2n ,所以a n =⎝⎛⎭⎪⎫p p -2n -1.又因为a 2=3,所以⎝⎛⎭⎪⎫p p -22-1=3.所以p =4,a n =2n-1.(3)由(2)得b n =log 22n=n (n ∈N *),数列{c n }中,b k (含b k 项)前的所有项的和是(1+2+3+…+k )+(20+21+22+…+2k -2)×2=k k +12+2k-2,当k =10时,其和是55+210-2=1 077<2 011, 当k =11时,其和是66+211-2=2 112>2 011, 又因为2 011-1 077=934=467×2,是2的倍数, 所以当m =10+(1+2+22+…+28)+467=988时,T m =2 011,所以存在m =988使得T m =2 011.[典例3]将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表:已知表中的第一列数a 1,a 2,a 5,…构成一个等差数列,记为{b n },且b 2=4,b 5=10.表中每一行正中间一个数a 1,a 3,a 7,…构成数列{c n },其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)若上表中,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数,且a 13=1.①求S n ;②记M ={n |(n +1)c n ≥λ,n ∈N *},若集合M 的元素个数为3,求实数λ的取值范围. [解] (1)设数列{b n }的公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧b 1+d =4,b 1+4d =10,解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1=2,d =2,所以b n =2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1+3+5+…+(2n -1)=n 2个数,且32<13<42, 所以a 10=b 4=8.所以a 13=a 10q 3=8q 3.又a 13=1,解得q =12.因此c n =2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1=n2n -2.所以S n =c 1+c 2+…+c n -1+c n =12-1+220+…+n -12n -3+n 2n -2,12S n =120+221+…+n -12n -2+n2n -1.因此12S n =12-1+120+121+…+12n -2-n 2n -1=4-12n -2-n 2n -1=4-n +22n -1,解得S n =8-n +22n -2.②由①知c n =n 2n -2,不等式(n +1)c n ≥λ,可化为n n +12n -2≥λ.设f (n )=n n +12n -2,计算得f (1)=4,f (2)=f (3)=6,f (4)=5,f (5)=154,因为f (n +1)-f (n )=n +12-n2n -1,所以当n ≥3时,f (n +1)<f (n ). 因为集合M 的元素的个数为3, 所以λ的取值范围是(4,5].本题第二小问中②的参数取值范围问题,运用了函数的思想方法,进行参数分离转化为n n +12n -2≥λ,再构造函数求出n n +12n -2的取值范围,从而得到参数λ的取值范围,这里要注意n 只能取正整数.[演练3]下面的数组均由三个数组成,它们是:(1,2,3),(2,4,6),(3,8,11),(4,16,20),(5,32,37),…,(a n ,b n ,c n ).(1)请写出c n 的一个表达式,c n =________;(2)若数列{c n }的前n 项和为M n ,则M 10=________.(用数字作答) 解析:由1,2,3,4,5,…猜想a n =n ; 由2,4,8,16,32,…猜想b n =2n;由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想c n =n +2n.从而M 10=(1+2+…+10)+(2+22+…+210)=10×10+12+2210-12-1=2 101.答案:(1)n +2n(2)2 101[专题技法归纳]1.数列的递推关系是相邻项之间的关系,高考对递推关系的考查不多,填空题中出现复杂递推关系时,可以用不完全归纳法研究.在解答题中主要是转化为等差、等比数列的基本量来求解.2.数列求和问题,主要考查利用公式法求数列的前n项和,再论证和的性质,故不过多涉及求和的技巧以及项的变形.3.数列中a n或S n的最值问题与函数处理方法类似,首先研究数列a n或S n的特征,再进一步判断数列的单调性,从而得到最值.要注意的细节是n只能取正整数.4.数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似,同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式,不同类型的比较一般要构造函数来解决.5.数列中的参数取值范围问题在处理时,首选还是参数分离,分离后根据新数列的单调性确定最值或范围.1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值为________.解析:由a7+a9=16,得a8=8,由a4+a12=2a8,得a12=15.答案:152.已知数列{a n}满足a1=0,a n+1=a n-33a n+1(n∈N*),则a20=________.解析:由a1=0,a n+1=a n-33a n+1(n∈N*),得a2=-3,a3=3,a4=0,……由此可知:数列{a n}是周期变化的,且循环周期为3,所以可得a20=a2=- 3.答案:- 33.已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0<log m(ab)<1,则m的取值范围是________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b =2a +b ,b 2=a 2b ,即⎩⎪⎨⎪⎧b =2a ,b =a 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4.由0<log m 8<1,得m >8. 答案:(8,+∞)4.等差数列{a n }共有2n +1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则n =________. 解析:由12a 1+a 2n +1n +112a 2+a 2n n =n +1n =319290,得n =10. 答案:105.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n +2成等差数列,则q 的值为________.解析:由题意可知q ≠1,∴可得2(1-q n)=(1-qn +1)+(1-qn +2),即q 2+q -2=0,解得q =-2或q =1(不合题意,舍去),∴q =-2.答案:-26.所有正奇数如下数表排列(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍): 第一行 1 第二行 3 5 第三行 7 9 11 13 ……则第6行中的第3个数是________.解析:由1+2+4+8+16+3=34得第六行第三个数为第34个正奇数,所以这个数是2×34-1=67.答案:677.设1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中a 1,a 3,a 5,a 7成公比为q 的等比数列,a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列,则q 的最小值是________.解析:记a 2=m ,则1≤m ≤q ≤m +1≤q 2≤m +2≤q 3,要q 取最小值,则m 必定为1,于是有1≤q ≤2,2≤q 2≤3,3≤q 3,所以q ≥33.答案:338.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=5a n -133a n -7(n ∈N *),则数列{a n }的前100项的和为________.解析:由a 1=2,a n +1=5a n -133a n -7(n ∈N *),得a 2=5×2-133×2-7=3,a 3=5×3-133×3-7=1,a 4=5×1-133×1-7=2,则{a n }是周期为3的数列,所以S 100=(2+3+1)×33+2=200.答案:2009.已知数列{a n },{b n }满足a 1=1,a 2=2,b 1=2,且任意的正整数i ,j ,k ,l ,当i +j=k +l 时,都有a i +b j =a k +b l ,则12 010∑2 010i =1(a i +b i )的值是________. 解析:由题意得a 1=1,a 2=2,a 3=3,a 4=4,a 5=5;b 1=2,b 2=3,b 3=4,b 4=5,b 5=6.归纳得a n =n ,b n =n +1;设c n =a n +b n ,c n =a n +b n =n +n +1=2n +1,则数列{c n }是首项为c 1=3,公差为2的等差数列,所以12 010∑2 010i =1 (a i +b i )=12 010×2 010×3+4 0212=2 012. 答案:2 01210.对正整数n ,设曲线y =x n(1-x )在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n +1的前n 项和是________. 解析:y ′=nxn -1-(n +1)x n ,曲线y =x n (1-x )在x =2处的切线的斜率为k =n ·2n -1-(n +1)·2n ,切点为(2,-2n ),所以切线方程为y +2n =k (x -2),令x =0得a n =(n +1)·2n ,令b n =a n n +1=2n ,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n +1的前n 项和为2+22+23+…+2n =2n +1-2. 答案:2n +1-211.已知数列{a n }满足a n >0且对一切n ∈N *,有a 31+a 32+…+a 3n =S 2n ,a 1+a 2+…+a n =S n .(1)求证:对一切n ∈N *有a 2n +1-a n +1=2S n ;(2)求数列{a n }通项公式.解:(1)证明:∵a 31+a 32+…+a 3n =S 2n ,①∴a 31+a 32+…+a 3n +a 3n +1=S 2n +1.②②-①得S 2n +1-S 2n =a 3n +1,即(S n +1-S n )(S n +1+S n )=a 3n +1, a n +1(2S n +a n +1)=a 3n +1.∵a n +1≠0,∴a 2n +1-a n +1=2S n (n ∈N *).(2)由a 2n +1-a n +1=2S n 及a 2n -a n =2S n -1(n ≥2)两式相减,得(a n +1+a n )(a n +1-a n )=a n +1+a n .∵a n +1+a n >0,∴a n +1-a n =1(n ≥2).当n =1,2时,易得a 1=1,a 2=2也适合a n +1-a n =1,∴{a n }是等差数列,且a n =n .12.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知1S 1+1S 2+…+1S n =n n +1(n ∈N *). (1)求S 1,S 2及S n ;(2)设b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ,若对一切n ∈N *,均有∑n k =1b k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ,m 2-6m +163,求实数m 的取值范围. 解:依题意,n =1时,S 1=2;n =2时,S 2=6. 因为1S 1+1S 2+…+1S n=nn +1(n ∈N *),n ≥2时,1S 1+1S 2+…+1S n -1=n -1n,所以1S n =n n +1-n -1n,所以S n =n (n +1).上式对n =1也成立,所以S n =n (n +1)(n ∈N *).(2)当n =1时,a 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n , 所以a n =2n (n ∈N *),b n =⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ,b nb n -1=14.所以数列{b n }是等比数列.则∑n k =1b k =14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n 1-14=13⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n .因为13⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n 随n 的增大而增大,所以14≤∑nk =1b k <13,由⎩⎪⎨⎪⎧1m <14,m 2-6m +163≥13,得⎩⎪⎨⎪⎧ m <0或m >4,m ≤1或m ≥5,所以m <0或m ≥5,即m 的取值范围为(-∞,0)∪[5,+∞).。