因为椭圆的方程为 4 ＋ 2 ＝ 1，所以 A(－ 2,0)．
设 M (x0， y0)(－ 2<x0<0) ，则 B(2x0＋ 2,2y0)．
所以
x20＋
y20＝
8 9
，①
2x0＋ 2 2 2y0 2 4 ＋ 2 ＝ 1，②
由①②得 9x20－ 18x0－ 16＝ 0，
2
8
解得 x0＝－ 3或 x0＝ 3(舍去 )．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，
C，若 PC＝2AB，求直线 AB 的方程．
2
c2
a
[解 ] (1) 由题意，得 a＝ 2 且 c＋ c ＝ 3，
解得 a＝ 2， c＝ 1，则 b＝ 1，
所以椭圆的标准方程为
代入
x2＋
y2＝
8 9
，得
－ 4k2 1＋ 2k2
2＋
2k 1＋ 2k2
2＝ 89，
化简得 28k4＋ k2－ 2＝ 0，
3
2019 年 4 月第三讲 大题考法 —— 椭圆
题型 (一 ) 直线与椭圆的位置关系
主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方 程、直线方程的求法 .
[ 典例感悟 ]
[例 1] 如图，在平面直角坐标系
22
xOy 中，已知椭圆
x a
2＋
y b
2＝
1(
a
＞
b
＞0) 的离心率为 2，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. 2
x2 2＋
y2＝
1.
(2)当 AB⊥ x 轴时， AB ＝ 2，又 CP＝ 3，不合题意．
当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y＝k( x－ 1)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，
将 AB 的方程代入椭圆方程， 得 (1＋ 2k2)x2－ 4k2x＋ 2(k2－ 1)＝ 0，
2
2
2k ± 2 1＋ k
则 x1,2＝
2
，
1＋ 2k
2k2
－k
C 的坐标为
2，
2，
1＋ 2k 1＋ 2k
且 AB＝ x2－x1 2＋ y2－ y1 2
＝ 1＋ k2 x2－ x1 2 2 2 1＋ k2
＝ 1＋ 2k2 .
1
若 k＝ 0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意．
＝ 1＋ 2k2 ，
解得 k＝±1.
此时直线 AB 的方程为 y＝ x－ 1 或 y＝－ x＋1.
[ 方法技巧 ] 解决直线与椭圆的位置关系问题的
2 个注意点
(1) 直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难 度增加，涉及到长度、面积、向量等．
(2) 直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关
且△ AOB 的面积是△ AOM 的面积的 2 倍，求直线 AB 的方程．
解： (1)设椭圆的焦距为
2c，由题意得
c a＝
2 2a2 2 ， c ＝4
2，
解得 a＝ 2， c＝ 2，所以 b＝ 2.
2
x2 y2 所以椭圆的标准方程为 4 ＋ 2 ＝ 1.
(2)法一 ： (设点法 ) 因为 S△AOB＝ 2S△AOM ，所以 AB＝2AM ，所以 M 为 AB 的中点． x2 y2
2
2
把 x0＝－ 3代入①得 y0＝ ±3，
1
1
所以 kAB＝ ±2，因此直线 AB 的方程为 y＝±2(x＋ 2)，即 x＋ 2y＋ 2＝ 0 或 x－ 2y ＋2＝ 0.
法二 ： (设线法 )因为 S△AOB＝ 2S△AOM ，所以 AB＝ 2AM，所以 M 为 AB 的中点．
由椭圆方程知 A(－ 2,0)，设 B( xB， yB)， M (xM ， yM )，设直线 AB 的方程为 y＝ k(x＋ 2)．
x2 y2 由 4＋ 2＝1，
y＝ k x＋ 2 ，
得 (1＋ 2k2)x2＋ 8k2x＋ 8k2－ 4＝ 0，
所以 (x＋ 2)[(1＋ 2k2)x＋ 4k2－ 2] ＝ 0， 2 － 4 k2
解得 xB＝ 1＋2k2.
xB＋ － 2 － 4k2
所以 xM＝
2 ＝ 1＋ 2k2，
2k yM ＝ k(xM＋ 2)＝ 1＋ 2k2，
从而 k≠0，故直线 PC 的方程为
y＋
1
k ＋2
k2＝－
1 k
2k2 x－ 1＋2k2
，
5k2＋ 2
则 P 点的坐标为
－ 2， kk2＋1 1＋ k2
从而 PC ＝ |k| 1＋ 2k2
.
因为 PC ＝2AB，
2 3k2＋ 1 1＋ k2 4 2 1＋ k2
所以
|k| 1＋ 2k2
的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．
[ 演练冲关 ]
1． (2018 ·南通、泰州一调 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知
椭圆
x2 a2＋
y2 b2＝
1(a>
b>0)的离心率为
22，两条准线之间的距离为
4 2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的左顶点为 A，点 M 在圆 x2＋ y2＝ 89上，直线 AM 与椭圆相交于另一点 B，