2.2;两定点两动点
如图4①，在∠AOB中有定点P、Q，在射线OA、OB上分别有动点M、N，则当M、N运动至何处时四边形MPQN的周长最小？
图4;基础模型变形—两动点两定点
初看之下，该题是求解四条线段的和的最小值。但不难发现，线段QP的长度为定值，那么该问题的实质仍是PM、MN、NQ三条线段的和的最小值。与一定点两定点的情况相比，该问题的难点在于当同时有多个运动轨迹和多个定点时，如何确定每个定点对应的对称轴。此时需抓住在前一模型中得出的结论“作对称的过程就是要将问题中的线段分别转化到运动轨迹的不同侧”。图4①中，需要转化的线段为PM、BQ。为了保证对称后的线段仍是首尾相连，则只能将点P关于OA对称，将Q关于OB对称。也即作定点关于与其相连接的动点的轨迹的对称点。
【关键词】将军饮马;动点;线段最值
【中图分类号】G633.6;【文献标识码】A;【文章编号】1671-8437（2019）22-0172-03
近年来，随着社会经济的进步，我国的教育事业正在经历一场深刻的变革[1]。在中考数学命题中，结合了几何图形、函数与动点，全面考察学生运用知识的能力，逻辑思维能力、思维发散能力等综合性大题越发受到命题者的青睐。就笔者所在的成都市而言，自2008年至2018年，每年中考数学试卷压轴大题无一例外均是这一类型的题目。在福建省[2]、浙江省[3]、湖北省[4]等多地的中考命题中，也将这一类型的题目作为考察学生综合运用知识，分析探索问题的重要手段。而在诸多类型的动点问题中，将军饮马模型因其多变性而考频极高。
尽管将军饮马模型的思想可以巧妙地结合于函数图像和几何图形之中，产生多种变形情况，同时其特征明显，易于识别归纳，求解思路相通。因此，学生只要能够掌握将军饮马模型的基础模型以及其主要的变形形式，便可轻松识别并解答该类题目。
1; ;基础模型
将军饮马问题最早源于古罗马：将军每日需从军营A出发，先到河水l处让马饮水，后去位于河对岸的军营B，那么将军在何处饮马才能使路程最短（图1①）？在此问题中，由于两点之间线段最短，则线段AB与直线l的交点即为最佳的饮马位置（图1②）。此时将军需要走过的路程即为A、B军营之间的距离。
在基础模型中，重点需要让学生掌握将军饮马模型的特征以及求解思路。模型的特征可以概括为“点、线、最值”。其中“点”表示模型中存在动点及定点;“线”表示动点的运动轨迹为直线;“最值”表示模型求解的问题为线段的最值问题。当这三个要素在题目中同时出现时，则可以套用该模型的思路进行求解。而模型的求解方法则是通过对称的方法转化线段，最终利用线段公理找出最佳“饮马”位置。
2; ;模型变形
除了将军饮马的基础模型之外，该模型还存在多种变形，它们同样具备“点、线、最值”的要素，需要学生
掌握。
2.1;一定点两动点
如图3①，在∠AOB中有定点P，在射线OA、OB上分别有动点M、N，则当M、N运动至何处时MPN的周长最小？
图3;基础模型变形—两动点一定点
教学过程中，在学生仅掌握了基础模型只有一个动点的情况下，可以引导学生先将其中一个动点视为定点固定不动，将两个动点的情形转化为已知的一个动点的情况进行思考，进而得出分别关于两个动点的运动轨迹作定点P的对称点，将三角形周长的三边转化为到的距离的思路。
而若A、B军营的位置发生变化，由位于河水l两侧变为同侧时，问题则转变为在直线l的同一侧有定点A、B，在直最小值（图2①）？
由于线段AB不再与直线l相交，无法直接使用两点间线段最短的知识解决问题，此时需要引导学生对比图1与图2的异同，设法将A、B位于河水同侧的未知情况转化为A、B位于河水异侧的已知情况进行求解。而二者之间转化的方法即为对称：通过作A点关于直线l的对称点（图2②），由于，则可将AM+BM的值转化为的值。此时依据线段公理即可得到当M运动至与直线l的交点位置时，AM+BM取得最小值。
首先应将点A沿与直线平行的方向平移长度a得到，将要求解的线段转化为。即将问题转化为了将军饮马基础模型，只需作B点关于直线l的对称点，连接与直线相交于点，再将点向左平移长度a可得，则当M和N分别运动到点和点的位置时，AM+MN+BN的和取得最小值。
初中数学中将军饮马模型变式及教法探讨
作者：李志璇
来源：《理科爱好者(教育教学版)》2019年第04期
【摘要】初中数学中将军饮马模型是一种以对称转化线段的思想，能够解决动点到定点的距离之和的最小值问题。由于其多变性，在考试命题中，其常常与函数图像、几何图形相结合，考察学生的综合思维能力以及计算能力。本文从最基础的将军饮马模型出发，归纳总结了其特征，罗列了其多种变形模型，并梳理了模型的教学重点。
求解该题，需分别关于OA、OB作P点的对称点、（图3②）。由于且，则可将MPN的周长PM+MN+NP转化为，此时，依据线段公理即可知当M、N分别运动至、的位置时MPN的周长取得最小值。
在该题中，可以进一步发现，作对称点的本质是线段的转化。在图3①中，PM、PN、MN三条线段均位于两条运动轨迹的同侧，而通过对称的方法，得到的、、MN三条线段则是分别位于两条运动轨迹的不同侧，此时才可以利用线段公理成功求解问题。即作对称的过程就是要将问题中的线段分别转化到运动轨迹的不同侧。
图5;基础模型变形—两定点相对位置固定
该题中，由于线段MN的长度固定，因此，求AM、MN、NB三条线段的和的最小值实则是求AM和NB两条线段的和的最小值，这就与将军饮马基础模型的情况相似。而与基础模型相比，其差异在于基础模型中只有一个动点，要求解的线段首尾相连，而此题中有两个运动轨迹相同，距离固定的两个动点，使得实际要求解的线段AM和NB并未相连，无法直接将线段的和转化为两点间的距离，但M、N两点的相对位置是固定的，也即线段MN的长度与方向固定。那么，可以通过平移其中一个定点，则可以排除线段MN的影响，进而套用基础模型的方法进行求解。
解答该題，需分别作P、Q关于OA、OB的对称点、，将四边形MPQN的周长PM+MN+NQ+PQ转化为，依据线段公理即可知当M、N分别运动至、的位置时四边形MPQN的周长取得最小值。
2.3;两动点相对位置固定
如图5①，在直线l一侧有定点P、Q，在直线l上有动点M、N，且MN长度为a，则当M、N运动至何处时，线段AM+MN+NB的和取得最小值？