课时作业16 一元二次不等式及其解法
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．[2,3] B ．[2,3) C ．(2,3) D ．(2,3]
【答案】 A
【解析】 因为方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，所以不等式的解集为{x |2≤x ≤3}．
2．若a 2－17
4a ＋1<0，则不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a 成立的x 的范围是( )
A ．{x |x ≥3或x ≤1}
B ．{x |x <1
4或x >4} C ．{x |1<x <3} D ．{x |x ≤－3或x >1}
【答案】 D
【解析】 由a 2
－174a ＋1<0，得：a ∈(1
4，4)．
不等式x 2＋ax ＋1>2x ＋a ，可化为：(x －1)[x －(1－a )]>0， ∴x <1－a 或x >1， ∴x ≤－3或x >1.
3．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1，m )，则实数m ＝________.
【答案】 2
【解析】 ∵x ＝1是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根，∴a －6＋a 2＝0，∴a ＝2或－3.当a ＝2时，不等式2x 2－6x ＋4<0的解集为(1,2)，∴m ＝2.当a ＝－3时，不等式－3x 2－6x ＋9<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不合题意．
4．求函数f (x )＝log 2(x 2
－x ＋1
4)＋x 2－1的定义域．
【解析】
由函数的解析式有意义，得⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2－x ＋14>0，
x 2－1≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ≠12，
x ≤－1或x ≥1.
因此x ≤－1或x ≥1.故所求函数的定义域为{x |x ≤－1或x ≥1}．
课后作业
一、选择题(每小题5分，共40分) 1．不等式2x 2－x －1>0的解集是( ) A ．(－1
2，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1
2)∪(1，＋∞)
【答案】 D
【解析】 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x >1或x <－12，∴不等式的解集为(－∞，－1
2)∪(1，＋∞)．故应选D.
2．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝( )
A ．(1,4)
B ．(3,4)
C ．(1,3)
D ．(1,2)∪(3,4)
【答案】 B
【分析】 先解不等式求出集合B ，然后进行集合的相应运算． 【解析】 B ＝{x |－1≤x ≤3}，A ∩(∁R B )＝{x |3<x <4}，故选B. 3．函数y ＝11－x 2
＋lg(3x －x 2)的定义域为( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |0<x <3} C ．{x |0<x <1} D ．{x |－1<x <3} 【答案】 C 【解析】
由题意须满足⎩
⎨⎧
1－x 2>0，
3x －x 2
>0，即⎩⎨⎧
x 2－1<0，
x 2
－3x <0，
∴⎩⎨
⎧
－1<x <1，
0<x <3，
∴0<x <1.
4．不等式ax 2
＋bx ＋2>0的解集是{x |－12<x <1
3}，则a －b 等于( ) A ．－4 B ．14 C ．－10 D ．10
【答案】 C
【解析】 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－12<x <13}， ∴－12、1
3是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－12＋13＝－b a －12×13＝2a ，解得⎩⎨
⎧
a ＝－12
b ＝－2
.
∴a －b ＝－10.
5．设f (x )＝x 2＋bx ＋1，且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．R C ．{x |x ≠1} D ．{x |x ＝1}
【答案】 C
【解析】 ∵f (－1)＝f (3) ∴1－b ＋1＝9＋3b ＋1 ∴b ＝－2，
∴f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， ∴f (x )>0的解集为x ≠1.
6．若关于x 的不等式mx 2－(2m ＋1)x ＋m －1≥0的解集为∅，则( )
A ．m <0
B ．m <－1
8 C ．－1
8<m <0 D ．m 的值不存在 【答案】 B 【解析】
要使不等式的解集为∅，则⎩⎨
⎧
m <0，
Δ<0，
∴m <－18.
7．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1
a )>0的解集是( )
A ．{x |1
a <x <a } B ．{x |a <x <1
a } C ．{x |x <a 或x >1
a } D ．{x |x <1
a 或x >a }
【答案】 B
【解析】 原不等式可化为(x －a )(x －1a )<0.又∵0<a <1，∴1
a >1>a >0， ∴原不等式的解集为{x |a <x <1a }．
8．如果ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >4}，那么对于函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 有( )
A ．f (5)<f (2)<f (－1)
B ．f (2)<f (5)<f (－1)
C ．f (2)<f (－1)<f (5)
D ．f (－1)<f (2)<f (5)
【答案】 C
【解析】 ∵ax 2＋bx ＋c >0的解集为x <－2或x >4. 则a >0且－2和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴－b a ＝2，c
a ＝－8.
∴函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为x ＝－b
2a ＝1. ∴f (5)>f (－1)>f (2)，故选C.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如表：
【答案】 {x |x <－2，或x >3}
【解析】 由图表可知a >0.且f (3)＝0，f (－2)＝0.∴ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2，或x >3}．
10．若a <0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是________．
【答案】 {x |x >－a 或x <5a }
【解析】 方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根分别为－a 和5a ，且－a >5a .∴不等式的解集是{x |x >－a 或x <5a }．
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．解不等式．
(1)－x 2
＋2x －3>0；(2)x 2
＋x >－1
4；(3)－2x 2＋3x －2<0.
【分析】 把不等式化为二次项系数为正，右边为0的形式，利用“三个二次”之间的关系求解．
【解析】 (1)原不等式可化为x 2－2x ＋3<0， ∵Δ＝(－2)2－4×1×3＝－8<0， ∴原不等式的解集为∅.
(2)原不等式可化为x 2＋x ＋1
4>0.
∵Δ＝12－4×1×14＝0，∴方程x 2＋x ＋1
4＝0有两个相等实根x 1＝x 2＝－12.
∴原不等式的解集为{x |x ≠－1
2，x ∈R }．
(3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0. ∵Δ＝(－3)2－4×2×2＝－7<0， ∴原不等式的解集为R .
【规律方法】 一元二次不等式化为二次项系数为正的形式后，若Δ≤0，可根据二次函数的图象直接写出解集．
12．解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0(a ∈R )． 【解析】 当a ＝0时，原不等式化为x －2<0，∴x <2. 当a <0时，原不等式化为(x －2)(x －2
a )<0， ∴2
a <x <2.
当a >0时，原不等式化为(x －2)(x －2
a )>0. ①当0<a <1时，x >2
a 或x <2. ②当a ＝1时，x ≠2. ③当a >1时，x >2或x <2
a .
综上所述，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x <2}；当a <0时，原不等式的解集为{x |2a <x <2}；当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x >2
a 或x <2}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为{x |x >2或x <2
a }．。