清华大学2017年暑期学校测试真题
1. 已知()()()221ax f x =+b,g x =f x x c
-+，其中a ，b ，c 为已知参数，且a≠0，c>0。
则以下判断中正确的有______。
①f(x)关于点(0，b )成中心对称；
①f(x)可能在(0，+∞)上单调递增；
①f(x)有界；
①g(x)=0的解可能为{±1，±2}
【解答】① 函数f(x)的定义域为R ，且()()2f x +f -x b =，
于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。
① 当x > 0时，有()a
f x b c x x =++，
于是函数f(x)
在x =
①由于(),0,0b x a f x b x c
x x =⎧⎪⎪=⎨+≠⎪+⎪⎩
，
于是f(x)
的值域为||||b a b a ⎡-⋅+⋅⎣，进而f(x)为有界函数，命题正确。
①方程()0g x =即()1f x =±，它的解集关于原点对称，于是b =0，若g(x)=0的解为x=±1，±2，则关于x 的方程2
0x ax c -+=的解集为{1，2}或{-1，-2}，从而()()2233,22
x x f x =f x =x x -++和满足要求，命题正确。
772和f(x)=x+2满足要求，命题正确，如图
2. 已知无穷数列{}n a 满足11
n n+n a a =a +，则1a 的取值范围是______。
【解答】情形一1a =0，则n a =0(n①N*)，符合题意。
情形二1a ≠ 0，则n a ≠0(n①N*)，根据题意，111(1)n n
n n a a +-+=-， 于是1
111n n a a -=-， 因此11
11n a n a =+-， 于是，*11,a k N k
≠-∈。
综上所述，1a 的取值范围是*1|,N R x x k x k ⎧
⎫≠-
∈∈⎨⎬⎩⎭，
3. 已知()2221f x =x x a --+，若存在0x ，使得(){}
00[,2]|0x x x f x +⊆≤，则a 的取值范围是______。
【解答】根据题意，关于x 的方程22
21=0x x a --+
的两根之差的绝对值不小于2
2≤，解得a 的取值范围是[-1，1]
【解答】[-1，1]
4. 黑板上写有1，2，…，2017这2017个数，每次操作任意擦去其中的某三数a ，b ，c ，写上a+b+c 除以11的余数，则黑板上最后剩下一个数的所有可能为______。
【解答】由于1+2+…+2017模11的余数为10，于是黑板上最后剩下的一个数模11的余数必然为10，必然在集合{}1110|0182m m +≤≤中，容易构造最后一个数为10，21，32，…，2012中的任意一个数的例子
5. 已知双曲线22
221x y a b
-=，2F 为其右焦点，O 为坐标原点，若左支上存在一点P 使得2F P 中点M 满足1||8
OM =
c ，则双曲线的离心率e 的取值范围是______。
【解答】设1F 为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，11|PF |2|OM|=4c =
于是
104
c c a ≥-> 解得314c a <≤ 因此双曲线的离心率的取值范围是31,4
⎛⎤ ⎥⎝⎦，
6. 曲线C 3=，以下判断中正确的有______。
①曲线C 过点(0，0)；
①曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]
①曲线C 关于x 轴对称；
①P 为曲线C 上的动点，A ，B 的坐标为(0，1)和(0，-1)，则①PAB 的面积的最大值为
32
【解答】记(),f x y =
①由于f (0，0)=1≠3，于是点(0，0)不在曲线C 上，命题错误；
①根据题意，23|1|y ==-，于是22y -≤≤，
等号当x = 0时取得，结合连续性可知曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2]，命题正确；
①由于()()f x y =f x -y ，，，于是C 关于x 轴对称，命题正确；
①根据①，点P 位于(0，2)时，①PAB 的边AB 上的高取得最大值为2，此时①PAB 面积取得最大值为2，命题错误。
7. 已知空间一球，SC 为其直径且|SC|=4，A ，B 为球上两点，满足|AB|=，且
①ASC=①BSC=30°，则四面体S -ABC 的体积为______。
【解答】由于SC 为球的直径，于是①SAC=①SBC=90°
于是①SAC 与①SBC 全等，进而SA=SB ， CA=CB
设AB 的中点为M ，则SM①AB ，CM①AB 推出AB①平面SMC ，所以AB①SC 。
在①SAC 中作AH①SC 于点H ，连结BH ，则SC①平面ABH 。
因此
11
4334
S -ABC V =ABH SC ⋅⋅=⋅=8. 已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。
【解答】 3
如图，直角三角形有①PAD ，①PDC ，①PAB
9. 已知整数a ，b ，c 为三角形的三边长，其中a≤b≤c ，且b =10，则符合条件的(a ，b ，c )的个数为______。
【解答】55
根据题意a ≤ 10 ≤ c < a +10，于是符合条件的(a ，b ，c )的个数为
10
155a a ==∑。
10. 在一个44⨯的表格中填入8个1，使得任意每行以及每列都有2个1，则不同的填法数为______。
【解答】把每行的填法记为
第一类：A ：1100，A ：0011
第二类：B ：1010，B ：0101
第三类：C ：1001，C ：0110
情形一：4行的填法均为间一类，则必然为XXXX ，有24318C ⋅=种填法。
情形二：4行的填法为两类，则必然为XXYY ，有443A 72=种填法；
情形三：4行的填法为三类，则必然有某列中有3(或以上)个1或者1(或以下)个1，不可能 因此不同的填法总数为90
11. 已知①ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S
，且
222(c )S 112a b c +-==，，求3b -a 的最大值______。
【解答】根据余弦定理
12cos sin 122ab C ab C ⋅= 于是6C π
∠=，
sin sin sin sin B A a c c C C
-=⋅-⋅
2sin 52sin 6cos 2
B A
B B B B
π=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-≤ 等号当2,36
B A ππ∠=
∠=时取得，因此求最大值为2.
12. 投掷一枚均匀的硬币，若出现两次正面朝上的情况即停止投掷，问总投掷次数的数学期望______。
【解答】设所求数学期望为x ，考虑前两次投出的结果可得 ()()111(1)220244
x x x =+++++，解得6x =。
13. 已知曲线2
22
212C :y 5C :y 14x x +=+=，，试证明：对1C 上的任意直径AB ，均存在1C 上的动点P ，使得P A,PB 均与2C 相切______。
【解答】欲证命题即过为曲线1C 上任意一点作2C 的两条切线，这两条切线互相垂直。
设过点()00P x y ，的椭圆的切线为()()000A x x B y y -+-=
其中22005x y +=，则根据直线与椭圆位置关系的等效判别式，有 ()2
22004A B A By 0x +-+=，
即22220000(4)A (1y )B 2ABy 0x x -+--=， 于是根据韦达定理以及2200(4)(1y )0x -+-= 可得两条切线互相垂直，命题得证。
14. 已知O 为坐标原点，01A O OA OA ()n n n n x y -==+，且，，其中,Z ||3n n n n x y x y ∈+=且。
(1) 求3OA 的最大值；
(2) 求2017OA 的最小值。
【解答】(1) 根据题意，
|()|||||3n n n n x y x y =≤+=，
于是等号当112233()()()(30)x y x y x y ===，，，，
时取得，因此所求最大值为9。
(2)注意到20172017201711OA ,k k k k x y ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ 而20172017
20172017
1111||||1(mod 2)k k k k k k k k x y x y ====+≡+≡∑∑∑∑ 于是2017OA 0≠
又取112233()(1,2),()(1,2),()(12)x y x y x y ==--=-，，，，
以及22222323()(30),()(30),1,2,...,1007k k k k x y x y k ++++==-=，，，，， 则有2017OA (0,1)=-
于是2017OA 的最小值为1
15. 已知罗尔中值定理：若函数f(x)满足：①f(x)在[a ，b ]上连续；①f(x)在(a ，b )上可导；①f(a)=f(b)，。