目录1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1)1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3)1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4)1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5)1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5)1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7)1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7)1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 81.4.1同步涡动的临界转速： (9)1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9)1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10)1.5mathematic源代码 (11)2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12)2.1 分析 (12)2.2 MATLAB编程求解 (16)两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =⨯=⨯，材料密度337.810/Kg cm ρ-=⨯。

固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。

ϕ为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ϕπ=⨯=。

假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。

求：①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程；②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图；③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。

1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形心的平动和相对形心的运动。

随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个定点运动方程描述，共计需要6个方程。

假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位移。

因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。

下面导出单盘偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。

欧拉角表示的刚性支承偏置转子位置示意图o x y z为过圆盘形心的圆盘无偏心，图中Axyz为固定坐标系，''''平动坐标系，0' 为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。

当圆盘以自转角速度C ϕ=Ω≠绕自转轴转动时，单盘偏置转子的角速度矢量ω在旋转后的动坐标系110'ξης中的投影用第2类欧拉角表示为111cos sin ξηςωβωαβωϕαβ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩（1-1） 注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负1'o ξ轴旋转，固角速度1ξωβ=-，这与第1章所述有所不同。

在平动坐标系'''o x y ς中圆盘对形心'o 的动量矩为o'ςx'y'H =H +H +H （1-2）式中''(cos sin cos )'(sin cos )'(sin )x p d y d p p J J J J J ςςϕβαβααϕβαϕαβ=-=+=+H i H j H k（1-3）由于动坐标轴''o x 与1'o ξ的夹角1,'','o y o αη的夹角β很小，有sin ,sin ,cos cos 1ααββαβ≈≈≈≈代入对圆盘形心'o 的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有''()x p p d y p p d p d J J J dt d J J J dt d J dt ςϕαϕαβϕβϕβαϕαβαβ=+-=++=++H H H（1-4） 注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标系下动量矩的最终形式是一致的。

1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达下面分析作用在弹性轴上的力矩。

作用在转轴上的力矩有，弹性恢复力矩e M 和阻力矩R M 。

由材料力学知，圆轴在xoz 平面上弹性恢复力和弯矩223322223()13x xx x x x a ab b a bF lEI x k x k a b a b a b M lEI x k x k a b ab αααααααα-+-=+=+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1-5）注意，力矩的下标x 表示在'''x o z 平面内的力矩。

同理圆轴在'yo z 平面内弹性恢复力y F 和恢复力矩11122213()y yy y y y F k y k k y k a b M lEI y k y k a b abββββββββ=+=+-=+=+（1-6） 因忽略阻尼，所以没有阻力矩。

由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影''''''()0x ex Rx x y ey Ry y M M M k x k M M M k y k M αααβββςαβ=+=-+=+=+=∑∑∑（1-7）注意，因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右端等于零。

如果考虑扭转刚度k ϕ，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形成的弹性扭矩ςM 为k ςϕςϕ=-M k1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心o '的动量矩定理''''x y y x d M dt d M dt d M dt ςς===∑∑∑H H H（1-8） 整理得到描述相对圆盘形心运动的定点转动微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+++++=+++--0)(00ϕϕβαβαϕααβϕαβϕββαϕαϕβϕϕααααββββk c J c k x k J J J c k y k J J J p x p d p y p p d（1-9） 再加上圆盘随形心运动的平动微分方程⎩⎨⎧=++=++00βαβαk y k y m k x k x m y yy x xx （1-10） 这就是刚性支承偏置单盘转子变转速瞬态自由涡动微分方程，共计5个方程。

对于圆轴截面，k k k k k k k k y 22112112,======ββααβαβ。

第2和第3个方程可简化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++++=+++++=+++--000)(001211121122212221βαϕϕβαβαϕααβϕαβϕββαϕαϕβϕϕαβk y k y m k x k x m k c J c k x k J J J c k y k J J J p p d p p p d （1-11） 1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：由题目给出的条件代入数据，得：()1570.1425m 44a l ===，()0.4275mb l a =-=()23167.810 3.14159262 3.137kg 2m V A ρρ-⎛⎫==∆=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()2223.137160.0050192kg m 1616d mD J ⨯===⋅220.0100384kg m p d J J ==⋅（因为是动力对称转子圆盘）对于等截面轴，有2211333549858.9N/m a ab b k lEI a b ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭122122367161.07N a b k k lEI a b -⎛⎫===- ⎪⎝⎭4223 1.43610N m lEIk ab==⨯⋅ 1.4.1同步涡动的临界转速：当圆盘转动为同步正进动时ωΩ=。

由方程错误!未找到引用源。

：211221()2d p k k m J J ω=+±-（1-12）代入数据，得临界角速度：21278.87(rad/s )F ω=临界转速：1602663(r/min)2F n ωπ==当同步反进动时ωΩ=-，由方程错误!未找到引用源。

：211221,2123dk k m J ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1-13） 代入数据得临界角速度：临界转速：1260609836.7(r/min)2480.8(r/min)22B B n n ωωππ====，1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系：由偏置单盘转子稳态自由涡动涡动角速度与自转角速度的关系式为： ()432112************d p d p mJ mJ J k mk J k k k k k ωωωω-Ω-++Ω+-=（1-14）将前面已求得的各个数据代入上式，可写为：4320.01570.031547807.175519.73385364480.460ωωωω-Ω-+Ω+=（1-15）Ω取不同值时，经Mathematic 算出对应的ω值，如下表所示：Ω1F ω2F ω1B ω2B ω1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下：1.5mathematic源代码2. 威尔逊--θ法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 2.1 分析因假设没有作用在转子上的不平衡外力F ，不计重力m g ，没有重力矩gM ，只有保持转子作等加速转动的外力矩gM 。

取广义坐标(,,,,)Tx y βαϕ=q ，有前面分析可知，系统微分方程简化为11142223323341440()000dd p d p p d p p a m y cy k y k J c k J J J k y k c J J J k x k c ϕϕββϕαβαβϕϕβϕαϕαββαϕβϕβαα⎪⎪++-=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎪⎪+-+++=⎩（1-16）转子形心的瞬态涡动幅频特性: 圆盘的转动惯量为220.0100384kg m p d J J ==⋅转轴的截面惯性矩及材料的弹性模量48411213.97610, 2.05810/64I d m E m π-==⨯=⨯4la =，由影响系数法假定转子受单位力P 作用求转子的位移11α和转角12α，其表达式为221112()()(2),33a l a a l a l a EIl EIl αα---==（1-17）假定转子受单位力矩M 作用求转子的位移12α和转角22α，其表达式为222122()(2)33,33a l a l a l la a EIl EIl αα---+==（1-18）从而得柔度矩阵2222()()(2)133()(2)3333a l a a l a l a EIl a l a l a l la a ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦α（1-19） 则刚度矩阵为111212122k k k k-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α（1-20） 对于等截面圆轴，有2211333549858.9N/m a ab b k lEI a b ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭122122367161.07N a b k k lEI a b -⎛⎫===- ⎪⎝⎭4223 1.43610N m lEIk ab==⨯⋅等加速过程中，不考虑11142223323341440()000dd p d p p d p p a m y cy k y k J c k J J J k y k c J J J k x k c ϕϕββϕαβαβϕϕβϕαϕαββαϕβϕβαα⎪⎪++-=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎪⎪+-+++=⎩中的第三式222 5.7/35.814/rad s rad s ϕπ=⨯=，由威尔逊--θ法设转子涡动微分方程为q q q ++=M C K F （1-21）式中,,,M C K F 分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外激励矩阵。