非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。

其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。

定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。

数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。

本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。

1、平均法
平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。

其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。

将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。

1.1利用平均法分析多自由度非线性振动
平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。

将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。

1.2用改进平均法求解自由衰减振动
用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，
在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。

但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。

改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。

2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统
非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。

现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。

3、等效小参数法求解强非线性系统
等效小参量法是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求高阶非线性系
统近似解的一种比较有效的方法，这种方法不仅适用于弱非线性系统，而且适用于强非线性系统，其近似解能较好地反映系统特性。

在求解弱非线性系统时，扰动法和等效小参量法均具有较高的精确度，但对于强非线性系统，等效小参量法表现出较明显的优势。

参考文献：
【1】王海期.非线性振动.高等教育出版社.1992
【2】闻邦椿.“工程非线性振动”的研究的若干进展及展望. 第八届全国动力学与控制学术会议论文集.2008
【3】陈立群，吴哲民.多自由度非线性振动分析的平均法.振动与冲击.2002
【4】何松林，黄焱. 用改进平均法求解自由衰减振动.振动与冲
击.2011
【5】吕永建.FFT多谐波平衡法及其应用.湖南大学硕士论文.2013 【6】宁送云，丘水生.等效小参量法的计算机实现及有效性研究.广东教育学院学报.2006。