热点 四边形的证明与计算
（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（ ）
A ．对角线互相平分的四边形是菱形；
B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A ．
12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（ ）
A ．任意三角形
B ．任意四边形
C ．正五边形
D ．正四边形
5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，•则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．75°
6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③
7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m•取值范围是（ ）
A ．1<m<11
B ．2<m<22
C ．10<m<12
D ．5<m<6
（1） (2) (3) (4) 8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．矩形
D ．正方形
9．如图3，ABCD 中，P 是对角线BD 上的任意一点，过点P 作EF ∥BC ，HG ∥AB ，•则下列说法不正确的是（ ）
A ．S AEPG =S PHCF
B ．图中有3对全等三角形
≠S GHCD
C．图中共有9个平行四边形D．S
10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，•E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）
A．80° B．70° C．65° D．60°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________．
(5) (6) (7) (8)
12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________．
13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2．
14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________c m2．
15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．
16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______c m2．
17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______．
18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．
20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？
21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这六个圆心，得到六边形ABCDEF．
求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和．
22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．
23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，
积．
24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A•′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．
（1）四边形OECF的面积如何变化．
（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．
25．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P•从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，•问t 为何值时．
（1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．
答案:
一、选择题
1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D 二、填空题
11．a-b 12．72 13．24 14．8 15．10 16．128 17．30°18．52
三、解答题
19．证明：（1）,90D BC BD CD
DE AB DF AC BED CFD B C ⇒=⎫⎪
⊥⊥⇒∠=∠=︒⎬⎪∠=∠⎭
是的中点⇒
△BDE ≌△CDF ．
（2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知：
AEDF BED CFE DE DF ⎫
⇒⎬∆≅∆⇒=⎭
四边形是矩形
矩形AEDF 是正方形．
20．解：四边形EBFD 是平行四边形．在ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ，
则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形． 21．解：（1）由多边形内角和定理知：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°． （2）S 阴影=
720360
πr 2
=2π． 22．解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ．
∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ．
而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ． ∴四边形AFCE 是菱形．
23．解：在梯形ABCD 中由题设易得到：
△ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=
1
2
BE=6． 过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD
24．解：（1）四边形OECF 的面积不变．
因为在旋转过程中，始终有△ODF≌△OCE，故S四边形OECF=S△OEC+S△OFC=S△OCD．
（2）由（1）知S四边形OECF=S△OCD=1
4
×4=1．
25．解：（1）∵PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形．而PD=24-t，CQ=3t，
∴24-t=3t，解得t=6．
当t=6时，四边形PQCD是平行四边形．
（2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC-AD=2cm．
当CQ-PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．
即3t-（24-t）=4．∴t=7．。