变 12：已知矩形 ABCD 中，AB＝4 cm，BC＝8 cm．点 E 从点 B 出发向点 C 运动，同时点 F 从点 D 出发向点 A 运动，点 E，点 F 的运动速度都是 1 cm/s，设它们的运动时间为 t s（0＜t＜8） ． （1）如图 1，求证在运动过程中，BD，EF 总是互相平分； （2）如图 2，若四边形 BEDF 是菱形，求 t 的值；
归纳4：
四边形 证明与计算问题
如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点， 请只用无刻度的直尺作图 （1）如图1，在BC上找点F，使点F是BC的中点； （2）如图2，在AB上找点G，使点G是AB的中点 （3）如图3，在CD上找点H，使点H是CD的中点。
如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD 边于点E，F. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当EF的长何值时．四边形BEDF是菱形．
变 8：如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E 是边 CD 的中点，连接 BE 并延长与 AD 的延长线相 交于点 F． （1）求证：四边形 BDFC 是平行四边形； （2）若 BC=CD，求四边形 BDFC 的面积．
变 9：
如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 上的高．点 O 是 AC 中点，延长 DO 到 E，使 EO＝DO，连接 AE，CE．
（1）求证：四边形 ADCE 的是矩形； （2）若 AB＝17，BC＝16，求四边形 ADCE 的面积
变 11：如图，在△ABC 中，DE 分别是 AB，AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使 EF＝2DE，连接 CF． （1）求证：四边形 BCFE 是菱形； （2）若 CE＝4，∠BEF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
（3）已知点 G 是平面内一点，若以点 A、E、F、G 为顶点的四边形是菱形且 AE 为边，直接写出所有 符合条件的 t ．． 的值．
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D
A
D
B
E
图1
C
B
图2
E
C
B
备用图
C
变3： 已知，如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、GH分别在AB、BC、CD、DA上， AE=CG，AH=CF，EG平分∠HEF． (1)求证：四边形EFGH是菱形．； (2)若EF=4，∠HEF=60°，求EG的长．
变 4： 如图， 在矩形 ABCD 中， E、 F 分别是边 AB、 CD 上的点， AE=CF， 连接 EF、 BF， EF 与对角线 AC 交于点 O， 且 BE=BF， ∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若 BC= 4 3 ，求 AB 的长．
变1：如图，在□ABCD中，E是BC边上的一点，且AB=AE. （1）求证：△ABC≌△EAD. （2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠CAD的度数.
变2：如图，在口ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作 AG∥DB交CB的延长线于点G． （1）求证：四边形DEBF 是平行四边形； （2）若∠G=90°，∠C=60°,BC=2求四边形DEBF的面积
变 7：如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使 B 点落在边 AD 上的 E 处，折痕为 PQ.过点 E 作 EF ∥AB 交 PQ 于 F，连接 BF, (1)求证：四边形 BFEP 为菱形； （2）当 E 在 AD 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随着移动. ①当点 Q 与点 C 重合时， （如图 2） ，求菱形 BFEP 的边长； ②如限定 P，Q 分别在 BA，BC 上移动，求出点 E 在边 AD 上移动的最大距离.
变5：如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD中点的直线交AD、BC边于F、E． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当四边形BEDF是菱形时，写出EF与BD的关系． （3）若∠A=60°，AB=4，BC=6，四边形BEDF是矩形，求该矩形的面积．
变 6：如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为 3cm，现将玩具尾部点 B1 固定，当这组菱 形形状发生变化时，玩具的头部 B1 沿射线移动． （1）当∠A1B1C1=120°时，求 B1，B7 两点间的距离． （2）当∠A1B1C1 由 120°变为 60°时，点 B1 移动了多少 cm？