四边形的证明和计算
教学目标：1、使学生牢固掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯
形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，并能应用这些知识去分析和解决问题。

2、通过复习提高学生逻辑推理论证的能力，发展学生数学思维的技能，进一步激励学生自我提高的动机。

关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、函数等相结合的综合题
3、如何挖掘隐含条件，合理添加辅助线，转化矛盾解决问题。

教学重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理、
判定定理的综合应用和综合思维、分析思维以及逻辑表达能力的培养。

教学难点：要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决
问题的策略．
教学过程：
学生整理有关平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，初步形成这些知识的网络结构。

为下面的复习做好准备。

一、
几何证明题：
例1：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ．
（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；
（2）如果DE 2
＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形．
(3)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同
A
B D
F C
E
图形改为：
的添加方法．
展示2011年中考23题，体现四边形在中考中的重要作用，学生独立完成，教师巡视指导，学生交流方法，师生共同归纳考点，教师给予方法点析
(2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明)
本题较为简单，意在顾及绝大多数学生，减
少对几何的畏惧心理，口答完成，提高积极性，复习判定方法
巩固训练： 1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ， 求证：四边形AFCE 是菱形
分析: 由于四边形AFCE 的对角线互相垂直，那么只需证明对角线互相平 分即可，故只需证OE=OF ，而这可由证明△AOE ≌△COF 得到。

证：（略）
说明：解决此题的关键是要准确理解题意，EF 是线段AC 的垂直平分线。

另一种方法证完后还可问学生，还有其他方法吗？注重一题多解，激活学生的思维。

学生独立完成,学生板书
分层提高题：2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ． （1） 证：GD CG GF EG ⋅=⋅；
例2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E 、F ．
(1)求证：DE=DF ．
（2） ：联结DF ，如果EF ⊥CD ，那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量
关系？证明你所得到的结论．
二、计算综合题 1如图,已知
ABCD 的周长为40,高AE=6,高AF=9,试根据条件设计一个问
题,并进行解答.
分析： 答案不唯一，如：已知
ABCD 的周
长和边上的高，会想到平行四边形的面积，而平行四边形的面积要涉及底和高，所以可
以设计求平行四边形的边长。

解：设计的问题可以是：求AB 、BC 的长。

因为
ABCD 的面积S=BC*AE=CD*AF 所以6BC=9CD ，因此BC=
2
3
CD ， 分层提高2如图27－4，在▱ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是________．
A
B
D
E
F
G
考中点基本图形，特殊
直角三角形的边长计算，三角形面积计算，可作为课外练习用。

3、动手操作：在一张长12 cm ，宽8 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH (见方案一)，小明同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠CAD ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形
AECF (见方案二)．
(1)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？
口答判定方法，第二问涉及菱形的两个面积公式，提问梯形的两个面积公式
压轴提高题
3.如图，正方形ABCD 中， AB =1，点P 是射线DA 上的一动点， DE ⊥CP ,垂足为E ，
EF ⊥BE 与射线DC 交于点F ．
(2)请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？
（1）若点P 在边DA 上（与点D 、点A 不重合）． ①求证：△DEF ∽△CEB ；
②设AP =x ，DF =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域； （2）当EFC BEC S S ∆∆=4时，求AP 的长．
关注中考中不断出现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、函数等相结合的综合题，通过解题要善于总结反思，正确认识特殊与一般的关系，注意方程思想、对称思想以及转化思想的渗透。

综合题的书写强调规范性和准确性。

作业设计:
一、选择题：
1．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三
角形的对数是（ ）
A 、1对
B 、2对
C 、3对
D 、4对
2．下列能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A 、两组角相等的四边形。

B 、对角线平分的四边形。

C 、一组对边相等一组对角线相等的四边形。

D 、两组对边分别相等的四边形。

3.下列命题正确的是（ ）
A 、两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形。

B 、两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形。

C 、两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。

D 、两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形。

4.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若BD 与AC 的和为18cm ，
A
B
C
D
A
B
C
D E
F
P
CD ：DA=2：3，△AOB 的周长为13cm ，那么BC 的长为（ ） A 、6cm B 、9cm C 、3cm D 、12cm
5.如图，在菱形ABCD 中，若∠ADC=120度，则BD ：AC 等于（ ） A 、3︰2 B 、3︰3 C 、1︰2 D 、3︰1
6.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点，如果∠BAF=60度， 则∠DAE 等于（ ）
A 、15度
B 、30度
C 、45度
D 、60度 A D
E B C
F 二填空题：
7.平行四边形的各内角平分线围成一个四边形，则这个四边形的形状是__________。

8.对角线相等且互相垂直平分的四边形为_______，对角线相等的菱形是______，对角线互相垂直的矩形是________。

9.菱形的面积等于80cm 2，高等于8cm ，则菱形的周长为______。

10.已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB=10，AC=9，DE=12，则平行四边形ABCD 的面积=________。

11.已知菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足E 、F 分别为BC 、CD 的中点，那么∠EAF 的度数为_______。

12.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，ED ⊥AC ，垂足为E ，如果∠CDE=
3
1
∠ADE ，DE=3cm ，那么AC=_________。

13.若平行四边形的一边长为8cm ，一条对角线长6cm ，则另一条对角线长x
的取值范围是_______。

14.以正方形ABCD 边AB 为边作等边△ABE ，（1）当点E 在正方形内部时，则∠DEC=____；（2）当点E 在正方形外时，则∠DEC=____。

三、简答题：
15.如图，过平行四边形ABCD 的四个顶点，分别向两条对角线引垂线，垂足为E 、H 、G 、F 。

求证：四边形EFGH 是平行四边形。

D
A B
16.如图，正方形ABCD 中，AB=2，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE=CF ，△AEF 的面积等于1，求EF 的长。

17.（2008上海）如图11，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．
E
H G F E D B A O
图11。