2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题一．解答题（共17小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）求解关于x 的不等式12()log (3)f x x ．2．（2020秋•海淀区期末）已知函数1()f x x x=-． （Ⅰ）用函数单调性的定义证明()f x 在区间(0,)+∞上是增函数； （Ⅰ）解不等式1(2)(4)x x f f +>．3．（2020秋•西城区校级期末）已知M 是满足下列性质的所有函数()f x 组成的集合：对任何1x ，2f x D ∈（其中fD 为函数()f x 的定义域），均有1212|()()|||f x f x x x --成立．（Ⅰ）已知函数211()1,[,]22f x x x =+∈-，判断()f x 与集合M 的关系，并说明理由；（Ⅰ）是否存在实数a ，使得()2ap x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ？若存在，求a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（Ⅰ）对于实数a ，()b a b <，用[,]a b M 表示集合M 中定义域为区间[a ，]b 的函数的集合，定义：已知()h x 是定义在[p ，]q 上的函数，如果存在常数0T >，对区间[p ，]q 的任意划分：011n n p x x x x q -=<<⋯<<=，和式11|()()|nii i h x h xT -=-∑恒成立，则称()h x 为[p ，]q 上的“绝对差有界函数”，其中常数T 称为()h x 的“绝对差上界”， T 的最小值称为()h x 的“绝对差上确界”，符号121ni n i t t t t ==++⋯+∑．求证：集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，并求()h x 的“绝对差上确界”． 4．（2020秋•大兴区期末）已知函数2()()21xf x a a R =-∈+． （Ⅰ）判断()f x 在(0,)+∞内的单调性，并证明你的结论；（Ⅰ）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 5．（2020秋•顺义区期末）已知函数2()4x mf x x +=-是定义在(2,2)-上的奇函数． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义证明：()f x 在区间(2,2)-上是减函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<．6．（2020秋•石景山区期末）已知函数2()log ||f x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及(f 的值； （Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性；（Ⅰ）判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明． 7．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数||()1(22)2x xf x x -=+-<． （1）求函数()f x 的值域：（2）若函数()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象有交点，请直接写出实数a 的取值范围． 8．（2020秋•丰台区期末）已知函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=． （Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅰ）若x R ∀∈，()f x m >，请写出m 的最大值； （Ⅰ）判断并证明函数1()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性． 9．（2020秋•西城区校级期末）已知函数2()21x x af x -=+为奇函数．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()0.5f x <，求x 的范围； （3）求函数()f x 的值域．10．（2020秋•昌平区期末）已知函数1()log (0||2af x a x =>+且1)a ≠． （Ⅰ）试判断函数()f x 的奇偶性； （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的值域；（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，求实数a 的取值范围． 11．（2020秋•西城区期末）设函数4()3f x x x=++． （Ⅰ）求函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标； （Ⅰ）当(0,)x ∈+∞时，求函数()f x 的最小值；（Ⅰ）用单调性定义证明：函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．12．（2020秋•西城区期末）设函数21()21x x f x +=-．（Ⅰ）若f （a ）2=，求实数a 的值；（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（Ⅰ）若()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，求实数m 的最小值．13．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数1133()5x xf x --=，1133()5x x g x -+=．（1）①直接写出函数()f x 的奇偶性；②写出函数()f x 的单调递增区间，并用定义证明；（2）计算：111()5()()422f fg -= ；f （4）5f -（2）g （2）= ；f （9）5f -（3）g （3）= ；（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式，并加以证明． 14．（2020秋•东城区期末）已知函数1()21xf x a =-+是奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅰ）判断()f x 的单调性；（只需写出结论）（Ⅰ）若不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立，求m 的取值范围．15．（2020秋•房山区期末）设函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数a ，使得对于任意x D ∈，有x a D +∈，且()()f x a f x +>，则称()f x 是D 上的“a 距增函数”．（Ⅰ）判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”？说明理由；（Ⅰ）写出一个a 的值，使得2,0()0x x f x x +<⎧⎪=是区间(,)-∞+∞上的“a 距增函数”；（Ⅰ）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||f x x a a =--．若()f x 为R 上的“2021距增函数”，求a 的取值范围．16．（2020秋•丰台区期末）设函数()f x 的定义域为I ，如果存在区间[m ，]n I ⊆，使得()f x 在区间[m ，]n 上是单调函数且值域为[m ，]n ，那么称()f x 在区间[m ，]n 上具有性质P ．（Ⅰ）分别判断函数()cos f x x =和3()g x x =在区间[1-，1]上是否具有性质P ；（不需要解答过程）（Ⅰ）若函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅰ）求n m -的最大值．17．（2020秋•朝阳区期末）“函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()(2)2x m x n ϕϕ+-=”．若函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，且当[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++． （Ⅰ）求(0)f f +（2）的值； （Ⅰ）设函数4()2xg x x=-． （Ⅰ）证明函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称；（Ⅰ）若对任意1[0x ∈，2]，总存在22[,1]3x ∈-，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围．2021北京高一数学上学期期末汇编：函数解答题参考答案一．解答题（共17小题）1．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得函数的定义域，由奇偶性的定义可得结论，（Ⅰ）根据题意，原不等式变形可得21122log (4)log (3)x x -，则有2043x x <-，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数1122()log (2)log (2)f x x x =++-，则有2020x x +>⎧⎨->⎩，解可得2x >，则函数()f x 的定义域为(2,)+∞，所以函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数． （Ⅰ）由2111222()log (2)log (2)log (4)f x x x x =++-=-，得21122log (4)log (3)x x -，因为12log y x =在(0,)+∞是减函数，所以有2043x x <-，解得24x <，因此不等式12()log (3)f x x 的解集为{|24}x x <．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数不等式的解法，属于基础题． 2．【分析】（Ⅰ）任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，由作差法证明可得结论，（Ⅰ）根据题意，由指数的运算性质可得120x +>，40x >，结合()f x 的单调性可得124x x +>，变形可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则1212121212111()()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=---=-+， 1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， ∴121210,10x x x x -<+>， 12()()0f x f x ∴-<．即12()()f x f x <，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增； （Ⅰ）根据题意，对于1(2)(4)x x f f +>，有120x +>，40x >，而函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增， 则有124x x +>，即121x -<， 解可得1x <．不等式的解集为(,1)-∞．【点评】本题考查函数单调性的证明以及性质的应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 3．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，通过任取1x ，21[2x ∈-，1]2，证明1212|()()|||f x f x x x --成立，说明()f x 属于集合M ．（Ⅰ）若()p x M ∈，则有1212||||22a ax x x x --++，然后可求出当[1a ∈-，1]时，()p x M ∈．（Ⅰ）直接利用新定义加以证明，并求出()h x 的“绝对差上确界T ”的值． 【解答】解：（Ⅰ）设1x ，21[2x ∈-，1]2，则2212121212|()()|||||||f x f x x x x x x x -=-=-+， 因为11122x -，21122x -， 所以1211x x -+，所以221212121212|()()|||||||||f x f x x x x x x x x x -=-=+--，所以函数()f x 属于集合M ． （Ⅰ）若函数()2aP x x =+，[1x ∈-，)+∞属于集合M ， 则当1x ，2[1x ∈-，)+∞时，1212|()()|||P x P x x x --恒成立，即1212||||22a ax x x x --++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，所以12|||(2)(2)|a x x ++，对1x ，2[1x ∈-，)+∞恒成立，因为1x ，2[1x ∈-，)+∞， 所以12|(2)(2)|1x x ++， 所以||1a ，即11a -， 所以a 的取值范围为[1-，1]．（Ⅰ）取1010p =-，1010q =， 则对区间[1010-，1010]的任意划分，和式1102111|()()||()()||()()||()()|ni i n n i h x h x h x h x h x h x h x h x --=-=-+-+⋯+-∑10211102110||||||()()()1010(1010)2020n n n n n x x x x x x x x x x x x x x ---+-+⋯+-=-+-+⋯+-=-=--=，所以集合[1010,1010]M -中的函数()h x 是“绝对差有界函数”，且()h x 的“绝对差上确界” 2020T =． 【点评】本题考查函数的新定义，解题中需要一定的阅读理解能力，属于中档题． 4．【分析】()I 先设120x x <<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断，()II 若()f x 为奇函数，则(0)0f =，代入可求a ，然后结合奇函数定义进行检验即可判断．【解答】解：()()I f x 在(0,)+∞内的单调递增，证明如下： 设120x x <<，则12211212222(22)()()01212(12)(12)x x x x x x f x f x --=-=<++++， 所以12()()f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增， ()II 存在1a =使得()f x 为奇函数，若()f x 为奇函数，则(0)10f a =-=，故1a =，此时221()11221x x x f x -=-=++，2112()()2112x xx xf x f x -----===-++，故()f x 为奇函数，此时1a =．【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性的判断，定义法的应用是求解问题的关键． 5．【分析】（1）由奇函数的性质得，(0)0f =，代入可求m ，进而可求函数解析式； （2）先设1222x x -<<<，然后利用作差法比较1()f x 与2()f x 的大小即可判断； （3）结合()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数即可直接求解． 【解答】解：（1）由奇函数的性质得，(0)04mf =-=， 故0m =，2()4xf x x =-， 证明：（2）设1222x x -<<<， 则1212211222221212(4)()()()044(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=>----， 所以12()()f x f x >，故()f x 在区间(2,2)-上是减函数；（3）因为()f x 在区间(2,2)-上是减函数且为奇函数， 由(1)()0f t f t -+<得(1)()()f t f t f t -<-=-， 所以212t t >->->-， 解得，122t <<， 故不等式的解集1(2，2)．【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义及性质的应用，还考查了利用函数的性质求解不等式，属于中档题．6．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式可得||0x >，然后求出x 的取值范围，再求出(f 的值； （Ⅰ）先求出函数的定义域，根据()f x ，可得()()f x f x -=，从而判断()f x 为偶函数； （Ⅰ）先判断()f x 的单调性，然后设120x x <<，利用定义法证明()f x 的单调性即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数2()log ||f x x =，则有||0x >， 解得0x ≠，即函数的定义域为{|0}x x ≠，221(log |log (2f ===； （Ⅰ）2()log ||f x x =，其定义域为{|0}x x ≠，则22()log ||log ||()f x x x f x -=-==，则()f x 为偶函数； （Ⅰ）()f x 在(,0)-∞上为减函数， 证明：当(,0)x ∈-∞时，2()log ()f x x =-，设120x x <<，则112212222()()log ()log ()log x f x f x x x x --=---=-， 又由120x x <<，则120x x ->->，所以121x x ->-， 所以11222()()log 0x f x f x x --=>-， 故()f x 在(,0)-∞上为减函数．【点评】本题考查了函数的奇偶性和利用定义法证明函数的单调性，考查了转化思想，属于中档题． 7．【分析】（1）分段去掉绝对值，即可求解值域；（2）对a 进行讨论，根据图象有交点，可得实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）函数||()1(22)2x xf x x -=+-<．则1,02()1,20x f x x x ⎧=⎨--<<⎩，因为1y x =-在(2,0)-单调递减， 可得()f x 值域为[1，3)．（2）当01a <<，当02x <时，()log a g x x =的图象与函数()f x 的图象恒有交点， 当1a <时，当02x <时，()log a g x x =是单调递增函数，则log 21a ，可得2a ． 则12a <．故得实数a 的取值范围是01a <<或12a <．【点评】本题考查函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，解答此题的关键是理解题意，是中档题． 8．【分析】（Ⅰ）利用函数()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=，列出方程组，求解即可；（Ⅰ）利用()21x f x =-是单调递增函数，求出()f x 的范围，利用恒成立的解法，可得到m 的取值范围，进而得到答案；（Ⅰ）利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为()2x f x a b =⋅+的图象过原点，且f （1）1=， 所以021a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩．（Ⅰ）因为1a =，1b =-，所以()21x f x =-是单调递增函数，对x R ∀∈，()1f x >-，所以1m -，故m 的最大值为1-．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，()21x f x =-， 所以11()21xy f x ==-， 所以1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数，证明如下： 令1()21x g x =-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 则21211212121211(21)(21)22()()2121(21)(21)(21)(21)x x x x x x x x x x g x g x -----=-==------， 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，所以121222,21,21x x x x <>>，所以2112220(21)(21)x x x x ->--，即12()()g x g x >， 所以1()21x g x =-在区间(0,)+∞上是单调递减函数， 即1()y f x =在区间(0,)+∞上是单调递减函数． 【点评】本题考查了函数单调性的性质与判断，涉及了指数函数单调性的应用、不等式恒成立的求解，证明函数单调性的关键是掌握函数单调性的定义以及证明的一般步骤．9．【分析】（1）可看出()f x 的定义域为R ，即()f x 在原点有定义，并且()f x 是奇函数，从而得出1(0)02af -==，从而得出1a =；（2）由()0.5f x <即可得出23x <，从而求出x 的范围； （3）分离常数得出2()121x f x =-+，根据20x>即可求出2121x -+的范围，即得出()f x 的值域． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为R ； ()f x ∴在原点有定义，且()f x 是奇函数； ∴1(0)02af -==； 1a ∴=；∴21()21x x f x -=+；（2）由211212x x -<+得：23x <；2log 3x ∴<；（3）212()12121x x xf x -==-++； 20x >；211x ∴+>，10121x <<+； ∴211121x -<-<+； ()f x ∴的值域为(1,1)-．【点评】考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，指数函数的单调性，指数与对数的互化，指数函数的值域，分离常数法的运用． 10．【分析】（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义即可求解；（Ⅰ）由对数函数的性质即可求解值域；（Ⅰ）对a 分类讨论，由对数函数的性质即可求解a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数1()log (0||2a f x a x =>+且1)a ≠的定义域为R ， 且11()log log ()||2||2aa f x f x x x -===-++，所以()f x 为偶函数． （Ⅰ）当2a =时，21()log ||2f x x =+， 因为110||22x <+，所以2211log log 1||22x =-+， 所以函数()f x 的值域为(-∞，1]-．（Ⅰ）若对任意x R ∈，()1f x 恒成立，即1log log ||2a a a x +恒成立，当1a >时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以0a <，不符合题意； 当01a <<时，则有1||2a x +恒成立，因为110||22x <+，所以112a <， 综上，实数a 的取值范围是1[2，1)．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，函数值域的求法，对数函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于中档题．11．【分析】（Ⅰ）联立方程组，解出即可；（Ⅰ）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可； （Ⅰ）根据函数的单调性的定义证明即可．【解答】（Ⅰ）解：令()y f x =，则由题意得：432y x xy x⎧=++⎪⎨⎪=⎩， 解得：12x y =-⎧⎨=-⎩或48x y =⎧⎨=⎩，故函数()f x 的图象与直线2y x =交点的坐标是(1,2)--，(4,8)；（Ⅰ）解：44()32337f x x x x x =++⋅+==，当且仅当4x x=即2x =时“=”成立， 故()f x 在(0,)+∞上的最小值是7； （Ⅰ）证明：不妨设212x x >>，则1212212121212112124()444()()33()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x ---=++---=-+=-⋅， 212x x >>，210x x ∴->，121240x x x x ->， 故21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 故函数()f x 在(2,)+∞上单调递增．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查根据定义证明函数的单调性问题，考查图象交点问题，是基础题．12．【分析】（Ⅰ）将x a =代入解析式，解指数方程即可求出a 得值；（Ⅰ）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()f x 、()f x -得数量关系，结合定义可得结论；（Ⅰ）先求出()f x 在[1，)+∞上得最大值，再根据要使()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立，即()max m f x ，求出m 得最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f （a ）2=，所以21221a a +=-，所以21222a a +=⋅-且21a ≠，所以23a =，所以2log 3a =； （Ⅰ）()f x 为奇函数，证明如下：因为210x -≠，所以定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，又因为211221()()211221x x x x x x f x f x --+++-===-=----，所以()f x 为奇函数；（Ⅰ）因为212122()1212121x x x x x f x +-+===+---， 又因为21x y =-在[1，)+∞上单调递增，所以221x y =-在[1，)+∞上单调递减，所以()max f x f =（1）3=，又因为()f x m 对于[1x ∈，)+∞恒成立， 所以()3max m f x =，即3m ． 所以m 得最小值为3．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判定，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算的能力，属于中档题．13．【分析】（1）①由幂函数的奇偶性及奇偶性的性质可直接判断；②利用增函数的定义即可证明； （2）代入计算即可得结论；（3）由（2）归纳出等式2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，代入即可证明．【解答】解：（1）①函数()f x 为奇函数． ②()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞， 证明：任取1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，则1111113333112233121211331211()()()(1)555x x x x f x f x x x x x -----=-=-+ 因为1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x <， 所以113312x x <，所以1133120x x -<，所以12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，由奇函数的性质可得()f x 在(,0)-∞上单调递增， 故()x 的单调递增区间为(,0)-∞，(0,)+∞．（2）经过代入计算可得111()5()()0422f fg -=，f （4）5f -（2）g （2）0=，f （9）5f -（3）g （3）0=．（3）由（2）中的各式概括出()f x 和()g x 对所有不等于0的实数x 都成立的一个等式为2()5()()0(0)f x f x g x x -=≠，证明：221111222233333333332()5()()05055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---==-⋅⋅=-=．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．14．【分析】()I 由奇函数的性质可得(0)0f =，即可求得a 值，并验证其成立即可； （Ⅰ）由复合函数的单调即可判断；（Ⅰ）由函数的奇偶性与单调性将不等式转化为2x x x m ->+恒成立，由△0<即可求得m 的取值范围． 【解答】解：()I 因为()f x 为奇函数，定义域为R ， 所以(0)0f =，即102a -=，解得12a =． 则1121()2212(21)x x x f x -=-=++，验证1112()()2212(21)xxx f x f x ---=-==-++，满足题意． （Ⅰ）11()221xf x =-+为增函数． （Ⅰ）由奇函数()f x 在定义域R 上单调递增，不等式2()()0f x x f x m -++<恒成立， 得2()()f x x f x m ->+恒成立， 即2x x x m ->+恒成立．由220x x m -->恒成立，有△440m =+<，得1m <-． 所以，m 的取值范围是(,1)-∞-．【点评】本题主要考查函数单调性与奇偶性的综合，考查不等式恒成立问题，属于中档题．15．【分析】()I 要判断函数()2x f x x =-是否为(0,)+∞上的“1距增函数”，只要任意(0,)x ∈+∞，检验(1)()f x f x +>是否成立即可判断；（Ⅰ）结合已知函数及()()f x a f x +>，即可求解；（Ⅰ）由已知结合函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对x 进行分类讨论及绝对值不等式性质进行转化可求． 【解答】解：（Ⅰ）函数()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”， 任意(0,)x ∈+∞，有1(0,)x +∈+∞，且21x >， 所以1(1)()2(1)(2)210x x x f x f x x x ++-=-+--=->， 因此()2x f x x =-是(0,)+∞上的“1距增函数”． （Ⅰ）10a =（答案不唯一，不小于4即可） （Ⅰ）||,0()0,0||,0x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪-++⎩因为()f x 为R 上的“2021距增函数”，()i 当0x >时，由定义|2021|||x a a x a a +-->--恒成立即|2021|||x a x a +->-恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a +-<，20212a < ()ii 当0x <时，分两种情况：当2021x <-时，由定义|2021|||x a a x a a -+++>-++恒成立即|2021|||x a x a ++<+恒成立，由绝对值几何意义可得20210a a --->，20212a <- 当20210x -<时，由定义|||2021|x a a x a a -++<+--恒成立 即|2021||||20212|2x a x a a a +-++->恒成立当0a 时，显然成立当0a >时，可得202104a <<综上，a 的取值范围为2021(,)4-∞． 【点评】本题以新定义为载体，综合考查函数性质的综合应用，属于中档试题． 16．【分析】（Ⅰ）直接根据题中给出的信息判断即可；（Ⅰ）()i 根据题意，()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m (0)t t ，转化为20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根， 方法1：利用二次方程根的分布列出不等关系，求解即可； 方法2：利用换元法，转化为求解函数的值域问题，求解即可． ()ii 利用n m -的表达式结合a 的范围，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）函数()cos f x x =在区间[1-，1]上不具有性质P ，3()g x x =在区间[1-，1]上具有性质P ．（Ⅰ）()i 方法1：因为函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ， 则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即20t t a --=在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以00a >⎧⎨-⎩，即1400a a +>⎧⎨-⎩．解得104a -<所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．方法2：因为函数()h x a =在[0，)+∞单调递增，函数()h x a =在区间[m ，]n 上具有性质P ，则()h x x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根m ，(0)n m ，a x =在[0，)+∞有两个不相等的实数根．(0)t t ，即2a t t =-在[0，)+∞有两个不相等的实数根． 所以，实数a 的取值范围1(,0]4-．()ii 因为n m -= 又104a -<，所以当0a =时，n m -取最大值1．【点评】本题考查了函数性质的综合应用问题，涉及了函数单调性的性质与判断、方程根的分布问题，对学生知识的综合应用能力有较高的要求．17．【分析】（Ⅰ）由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件，计算可得所求和；（Ⅰ）（Ⅰ）计算()(2)g x g x +-，由函数()x ϕ的图象关于点(,)m n 对称”的充要条件即可得证；（Ⅰ）求得()g x 的值域，记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．再由二次函数的最值求法和恒成立思想，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由函数()f x 的图象关于点(1,2)对称，可得()(2)4f x f x +-=， 则(0)f f +（2）4=； （Ⅰ）（Ⅰ）证明：4()2xg x x=-，(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞， 4(4)164(4)2(4)2x xg x x x --∴-==---， 4164816()(4)8222x x x g x g x x x x--∴+-=+==----． 即对任意的(x ∈-∞，2)(2⋃，)+∞，都有()(4)8g x g x +-=-成立． ∴函数()g x 的图象关于点(2,4)-对称．（Ⅰ）48()422x g x x x ==----， 易知()g x 在2(3-，1)上单调递增，()g x ∴在2[3x ∈-，1]时的值域为[1-，4]．记函数()y f x =，[0x ∈，2]的值域为A ．若对任意的1[0x ∈，2]，总存在22[3x ∈-，1]，使得12()()f x g x =成立，则[1A ⊆-，4]．[0x ∈，1]时，2()1f x x ax a =-++，f ∴（1）2=，即函数()f x 的图象过对称中心(1,2)．（1）当02a，即0a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递增．由对称性知，()f x 在(1,2)上单调递增． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递增．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3a =-，则[1A a =+，3]a -． 由[1A ⊆-，4]，得11340a a a +-⎧⎪-⎨⎪⎩，解得10a -．（2）当012a <<，即02a <<时，函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a，1)上单调递增．由对称性，知()f x 在(1,2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴函数()f x 在(0,)2a 上单调递减，在(2a ，2)2a -上单调递增，在(22a-，2)上单调递减．∴结合对称性，知[A f =（2），(0)]f 或[()2a A f =，(2)]2af -．02a <<，(0)1(1f a ∴=+∈，3)．又(0)f f +（2）4=，f ∴（2）3(1,3)a =-∈．易知2()1(1,2)24a a f a =-++∈．又()(2)422a af f +-=，(2)(22af ∴-∈，3)．∴当02a <<时，[1A ⊆-，4]成立．（3）当12a，即2a 时，函数()f x 在(0,1)上单调递减． 由对称性，知()f x 在(1,2)上单调递减． ∴函数()f x 在(0,2)上单调递减．易知(0)1f a =+．又(0)f f +（2）4=， f ∴（2）3a =-，则[3A a =-，1]a +． 由[1A ⊆-，4]，得31142a a a --⎧⎪+⎨⎪⎩．解得23a ．综上可知，实数a 的取值范围为[1-，3]．【点评】本题考查函数的对称性的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力、推理能力，属于难题．坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。