2019-2021北京高一数学上期末汇编：分段函数一．选择题（共6小题）1．（2020秋•通州区期末）函数,0()(03,0x a x f x a a x x ⎧=>⎨->⎩且1)a ≠在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．1[,1)3D ．1(0,]32．（2020秋•大兴区期末）已知函数5,1()1,1ax x f x x x+⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则a 的范围是( )A ．(,0)-∞B ．[4-，)+∞C ．(,4)-∞-D ．[4-，0)3．（2020秋•丰台区期末）若函数2,0()2,0x x x f x x ⎧-=⎨<⎩，则函数()f x 的值域为( )A ．[0，1)B ．(-∞，0]C ．(-∞，0)(0⋃，1)D ．(,1)-∞4．（2021春•海淀区校级期末）已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，12()log f x x =，则()0f x >的解集是( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(-∞，1)(0-⋃，1)D ．(1-，0)(0⋃，1)5．（2021春•大兴区期末）若函数323,0()2,0x x x f x x x ⎧->=⎨⎩在区间(1,32)a a --上有最大值，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．[0，1)C ．(,2)-∞D ．(0,1)6．（2021春•海淀区校级期末）若函数2,0()2,0x xe x f x ax x x ⎧=⎨->⎩的值域为1[,)e -+∞，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,)eB ．(,)e +∞C ．(0，]eD ．[e ，)+∞二．填空题（共4小题）7．（2020秋•西城区期末）设()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，f （2）0=，则不等式()0f x <的解集是 ．8．（2020春•海淀区校级期末）设函数2,1()5()(3),1log x a x f x x a x a x -⎧=⎨--<⎩．①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．9．（2020春•海淀区校级期末）设函数2,()1,x e x x af x ax x a ⎧-<=⎨-⎩，若2a =，则()f x 的最小值为 ；若()f x 没有最小值，则实数a 的取值范围是 ．10．（2019秋•房山区期末）已知函数21()31x x x f x ax -+<⎧=⎨⎩，当12a =时，()f x 的值域为 ；若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围是 ． 三．解答题（共1小题）11．（2019秋•海淀区校级期末）已知函数()|log |(0,1)a f x x a a =>≠． （1）若f （2）12=，求实数a 的值； （2）若120x x <<，且12()()f x f x =，求12x x 的值；（3）若函数()f x 在1[2，3]的最大值与最小值之和为2，求实数a 的值．2019-2021北京高一数学上期末汇编：分段函数参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】根据分段函数的单调性建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：若函数在R 上为减函数， 则满足00130a a a <<⎧⎨-⎩，即0113a a <<⎧⎪⎨⎪⎩，得103a<， 故选：D ．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，结合分段函数的单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，是基础题．2．【分析】根据题意，由函数的单调性的定义可得051a a <⎧⎨+⎩，解之即可得答案．【解答】解：因为函数5,1()1,1ax x f x x x +⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，所以051a a <⎧⎨+⎩，解得40a -<，即a 的取值范围为[4-，0)．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的单调性，属于基础题．3．【分析】根据分段函数()f x 的解析式即可求出每段上()f x 的范围，然后即可得出()f x 的值域． 【解答】解：0x 时，20x -；0x <时，021x <<，()f x ∴的值域为：(,1)-∞．故选：D ．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．4．【分析】由已知结合奇函数的性质求出()f x 的解析式，然后结合对数函数的单调性即可求解．【解答】解：因为()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，12()log f x x =，当0x <时，0x ->，则12()()log ()f x f x x -=-=-，所以12()log ()f x x =--，又(0)0f =，则由()0f x >可得，1200x log x >⎧⎪⎨>⎪⎩或120()0x log x <⎧⎪⎨-->⎪⎩，解可得01x <<或1x <-． 故选：C ．【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在求解不等式中的应用，属于基础试题．5．【分析】先根据单调性画出函数()f x 的大致图象，再数形结合建立不等式，解不等式可得答案． 【解答】解：令3()3g x x x =-，0x >，则22()333(1)g x x x '=-=-， 令()0g x '>，解得01x <<；令()0g x '<，解得1x >， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． 又f （1）2(1)f ==-，作出函数()f x 的大致图象，结合图象，由题意可得11132a a --<<-，解得01a <， 所以实数a 的取值范围是[0，1)． 故选：B ．【点评】本题考查函数的最值，考查导数的应用，考查数形结合的数学思想，考查直观想象的核心素养，属于中档题．6．【分析】利用导函数研究()x f x xe =的最小值，在讨论2()2f x ax x =-二次函数最小值，可得实数a 的取值范围． 【解答】解：由题意，当0x 时，()x f x xe =， 则()(1)x f x x e '=+， 令()0f x '=，可得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '<，在函数()f x 在(,1)-∞-单调递减； 当(1x ∈-，0]时，()0f x '>，在函数()f x 在(1-，0]单调递增；∴当1x =-时，()x f x xe =取得最小值为1e -．其值域为1[e-，)+∞那么：当0x >时，二次函数2()2f x ax x =-的最小值大于等于1e-．0a ∴>，其对称10x a=>． 则11()()min f x f a e=-．即121a a e--， 解得：a e 故选：D ．【点评】本题考查了分段函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择 二．填空题（共4小题）7．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合进行求解即可． 【解答】解：()f x 为R 上的奇函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，f （2）0=，()x ∴在(,0)-∞上单调递增，(2)0f -=，则()f x 对应图象如图：则()0f x <的解集(-∞，2)(0-⋃，2)，故答案为：(-∞，2)(0-⋃，2)．【点评】本题主要考查不等式求解，结合函数奇偶性和单调性的关系，作出函数()f x 的简图，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．8．【分析】①代入a 的值，求出()f x 在各个区间的最小值即可判断；②通过讨论a 的范围，再讨论1x 和1x <的情况，求出满足()f x 恰有2个零点的a 的范围即可．【解答】解：①若1a =，1x 时，2()log 1f x x =-，()f x 在[1，)+∞递增，()f x 的最小值是f （1）1=-， 1x <时，2()5(1)(3)5(43)f x x x x x =--=-+，()f x 在(,1)-∞递减，()f x f >（1）， 故()f x 的最小值是1-；②0a =时，1x 时，2()log f x x =，()f x 递增，()f x 有1个零点是1x =， 1x <时，2()5f x x =，()f x 有1个零点是0x =，故0a =时，()f x 恰有2个零点，符合题意；0a >时，1x 时，2()log f x x a =-，()f x 递增，()f x f （1）0a =-<，()f x 在[1，)1+∞个零点， 1x <时，()5()(3)f x x a x a =--，若()f x 在(,1)-∞恰有1个零点，则零点是1x a =<，31a >，解得：113a <<，0a <时，1x 时，2()log f x x a =-，()f x 递增，()f x f （1）0a =->，()f x 在[1，)0+∞个零点， 1x <时，()5()(3)f x x a x a =--恰有2个零点，则0x a =<，30x a =<，符合题意， 当13a =时，21log ,13()15()(1),13x x f x x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩，当1x <时，函数1个零点是13，当1x >时，函数12个零点， 故13a =符合题意，综上，若()f x 恰有2个零点，则0a 或113a <， 故答案为：1-，(-∞，10][3，1)．【点评】本题考查了求函数最值问题，考查函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．9．【分析】（1）判断()f x 的单调性，分别计算()f x 在各段上的最小值；（2）讨论a 与2ln ，0的关系，得出()f x 的单调性，判断()f x 的有无最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，2,2()21,2x e x x f x x x ⎧-<=⎨-⎩，当2x <时，()2x f x e '=-，∴当2x ln <时，()0f x '<，当22ln x <<时，()0f x '>，()f x ∴在(,2)ln -∞上单调递减，在(2,2)ln 上单调递增， ()f x ∴在(,2)-∞上的最小值为(2)222f ln ln =-，当2x 时，()21f x x =-在[2，)+∞上单调递增， ()f x ∴在[2，)+∞的最小值为f （2）3=， 22231220ln ln --=--<，()f x ∴的最小值为222ln -．（2）①若0a <，则()f x 在(,)a +∞上单调递减，()f x 没有最小值；②若0a =，()f x 在(,0)-∞上单调递减，0()01f x e >-=，在(0,)+∞上()1f x =-，故()f x 有最小值1-，舍； ③若02a ln <，则()f x 在(,)a -∞上单调递减，()22220a f x e a ln ∴>-->，()f x 在[a ，)+∞上单调递增，故()f x f （a ）21a =-，而210a -<，()f x ∴有最小值21a -，舍；④若2a ln >，则()f x 在(,2)ln -∞上单调递减，在(2,)ln a 上单调递增，在[a ，)+∞上单调递增，()f x ∴有最小值(2)222f ln ln =-或21a -，舍∴若()f x 没有最小值，则0a <故答案为：222ln -，(,0)-∞．【点评】本题考查了函数的单调性判断，函数的最值计算，考查分类讨论思想，属于中档题．10．【分析】分别求1x <，1x 的值域，再求并集．若()f x 在R 上单调递减，则01a <<且123a -+⨯，即可解出答案．【解答】解：当12a =时，2,1()13(),12x x x f x x -+<⎧⎪=⎨⎪⎩，当1x <时，()2(1f x x =-+∈，)+∞，当1x 时，1()3()2x f x =是减函数，()(0f x ∈，3)2，所以函数()f x 的值域(0,)+∞． 若()f x 在R 上单调递减， 则01a <<且123a -+⨯， 解得103a<． 故答案为：R ，103a<． 【点评】本题考查分段函数的图象和性质，属于中档题． 三．解答题（共1小题）11．【分析】（1）代入直接求解即可；（2）计算可知12log ()0a x x =，由此得到121x x =；（3）分析可知函数()f x 在1[2，3]的最大值为2，讨论即可得解．【解答】解：（1）依题意，1|2|2a log =，即122a log =或122a log =-，解得4a =或14a =； （2）依题意，12|log ||log |a a x x =，又120x x <<，故12log log 0a a x x +=，即12log ()0a x x =，故121x x =； （3）显然当1x =时，函数()|log |a f x x =取得最小值为0，则函数()f x 在1[2，3]的最大值为2，若11()||222a f log ==，解得a =或a若f （3）|log 3|2a ==，解得a 或a =结合（2）可知，只有a =或a = 【点评】本题主要考查对数函数的图象及性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．。