反比例函数一、基础知识1.定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-，xy=k(k 为常数，o k ≠)2.反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
3.反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
4.反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
5．反比例函数性质如下表：6. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 7．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
8. 反比例函数的应用反比例函数常考题型一、反比例函数的概念例1下面函数中，哪些是反比例函数？ （1）3x y -=（2）x y 8-=（3）54-=x y （4）15-=x y （5）.81=xy （6） （7）（8）xy ＝21 （9）（10）（11） （12）y ＝x ＋4 （13） 5x y =x y 2-=25+=x y x y 23-=31+=xy 21y x =变式1：若y 与－2x 成反比例函数关系，x 与成正比例，则y 与z 的关系 （ ） A ．成正比例函数 B ．成反比例函数 C ．成一次函数 D ．不能确定 变式2：若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是____________．变式3：当m 取什么值时，函数是反比例函数？变式4： 函数y= 3x 的自变量x 的取值范围是___________；当x ＜0时，y 随x 的增大而（）．二、反比例函数的图像与性质例1:如图所示正比例函数0(>=k kx y ）与反比例函数xy 1=的图像相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC .若ABC ∆的面积为S ，则（）A ．1=SB ．2=SC ．3=SD ．S 的值不确定变式1:反比例函数xky =的图像上有一点),(n m P ，其坐标是关于t 的一元二次方程032=+-k t t 的两根，且P 到原点的距离为13，则该反比例函数的解析式为______.变式2:如图，A 、C 是函数xy 1=的图象上的任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ；过C 作y 轴的垂线，垂足为D.记AOB Rt ∆的面积为1S ，COD Rt ∆的面积为2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）. （A ）1S >2S (B)1S <2S （C ）1S =2S （D ）1S 与2S 的大小关系不能确定.（武汉市中考题）变式3:（1）一次函数1+-=x y 与反比例函数xy 3=在同一坐标系中的图像大致是如图中的（ ）3zx 13y y x 23)2(m xm y --=（2）一次函数12--=k kx y 与反比例函数xky =在同一直角坐标系内的图像的大致位置是图中的（ ）三、反比例函数应用例1、某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。
本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y （亿度）与（4.0-x ）元成反比例。
有又当65.0=x 元时，8.0=y 亿度。
⑴之间的函数关系式与求x y⑵若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度的电力部门的收益将比上年度增加20℅？[收益=用电量×（实际电价-成本价）]四、综合题目例1、 已知一次函数2y x k =-的图象与反比例函数5k y x+=的图象相交，其中有一个交点的纵坐标为-4，求这两个函数的解析式．注意：这是关于一次函数和反比例函数的综合题，解本题的关键是要抓住两图象交点这个主要矛盾，它既在一次函数图象上，又在反比例函数图象上，从而转化为解二元一次方程组，问题得以解决．例 2、已知y=y 1+y 2，y 1与x+1成正比例，y 2与x 2成反比例，并且x=-1时，y=1；x =1y =+.求13x =时y 的值.注意： 解本题的关键是正确理解什么叫y 1与x+1成正比例，y 2与x 2成反比例，即把x+1与x 2看成两个新的变量． 例3、如图，直线221+=x y 分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，x PB ⊥轴，B 为垂足，9=ABP S ∆（1）求点P 的坐标；（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧．作x RT ⊥轴，T 为垂足，当BRT ∆与AOC ∆相似时，求点R 的坐标．例 4 如图，双曲线xky =与直线k x y --=相交于A ，过A 作x 轴的垂线AB ，垂足为B.如果2=∆ABO S ：（1）求两个函数的解析式；（2）若直线k x y --=交x 轴于C ，求A B C S ∆.（甘肃省中考题）例 5、已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D .31tan ,10=∠=DOB OB . （1）求反比例函数的解析式：（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当△OCD 的面积等于2S时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长能否等于3.如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由.例 6 已知函数227(56)m m y m m x --=--是反比例函数，且当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，求m 的值．例7、已知ABC 是边长为的等边三角形，点E.F 分别在CB 和BC 的延长线上，且120.EAF ∠=︒设BE=x.CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围。
例8、已知：关于x 的方程x 2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不象限内y 随x 的增大而减小．求满足上述条件的k 的整数值．说明：要记清楚反比例函数图象的特点，分成一、三象限和二、四象限有两大类图象，要会区分不同情况．另外对反比例函数只能说两个分支在各自的象限内y 随x 的增大而增大(或减小)，不能说在自变量取值范围内y 随x 的增大而增大(或减小)。
例 9（安徽省试题，2011）已知一次函数的图象与双曲线xy 2-=交于点()m ,1-，且过点()1,0．求该一次函数的解析式．例 10 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的.32如果如下图所示放在桌上，对桌面的压强是Pa 200，翻过来放，对桌面的压强是多少？说明：本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的。
例11已知一次函数8+-=x y 和反比例函数xky =).0(≠k（1）k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图像有两个交点？（2）设（1）中的两个交点为A ，B ，如图13-47所示，试比较AOB ∠与︒90角的大小..例12（2007福建福州）如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值； （2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求A O C △的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．反比例函数陕西中考原题(2004中考14题)若反比例函数y =kx经过点（-1，2），则一次函数y=-kx +2的图象一定不经过第象限.(2005中考15题)若双曲线6y x＝－经过点A （m ，－2m ），则m 的值为 ____。
(2006中考15题)双曲线xy 8=与直线x y 2=的交点坐标为 。
(2007中考12题)在ABC △的三个顶点(23)(45)(32)A B C ----，，，，，中，可能在反比例函数(0)ky k x=>的图象上的点是 ． (2008中考13题)一个反比例函数的图象经过点P （－1，5），则这个函数 的表达式是 。
(2009中考13题)若1122()()A x y B x y ，，，是双曲线3y x=上的两点， 且120x x >>，则12_______y y {填“>”、“=”、“<”}． (2010中考15题)已知1122()()A x y B x y ，，，都在6y x=图像上。
若x 1 x 2=-3则y 2 y 2的值为 (2011中考8题)如图，过y 轴上任意一点p ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数xy x y 24=-=和的图像交于A 点和B 点，若C 为x 轴上任意一点，连接AC,BC 则△ABC 的面积为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5(2012中考15题) 在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数=-2+6y x 的图象无．公共点，则这个反比例函数的表达式是 （只写出符合条件的一个即可）．(2013中考15题)如果一个正比例函数的图象与反比例函数xy 6=的图象交于A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）两点，那么（2x －1x ）（2y －1y ）的值为 .。